สั่งคู่

ในทางคณิตศาสตร์คู่อันดับ ( a , b ) คือคู่ของวัตถุที่มีอันดับสำคัญ คู่อันดับ ( a , b )ต่างจากคู่อันดับ ( b , a ) เว้นแต่ว่าa = bในทางตรงกันข้ามคู่ที่ไม่เรียงลำดับ ( a , b }) เท่ากับคู่ที่ไม่เรียงลำดับ ( b , a }

คู่ลำดับเรียกอีกอย่างว่าทูเพิล 2หรือลำดับ (บางครั้งเรียกว่ารายการในบริบทของวิทยาการคอมพิวเตอร์) ที่มีความยาว 2 คู่ลำดับของสเกลาร์ บางครั้งเรียกว่า เวกเตอร์ 2 มิติ(ในทางเทคนิคแล้ว นี่เป็นการใช้คำศัพท์ ที่ผิด เนื่องจากคู่ลำดับไม่จำเป็นต้องเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ ) รายการของคู่ลำดับสามารถเป็นคู่ลำดับอื่นๆ ได้ ทำให้สามารถกำหนดn-ทูเพิล แบบเรียงลำดับ (รายการแบบเรียงลำดับของ วัตถุ n รายการ) ได้ อย่างวนซ้ำตัวอย่างเช่น สามลำดับ ( a , b , c ) สามารถกำหนดเป็น ( a , ( b , c )) กล่าวคือ เป็นคู่หนึ่งที่ซ้อนกันในอีกคู่หนึ่ง

ในคู่ลำดับ ( a , b ) วัตถุaเรียกว่ารายการแรกและวัตถุb เรียกว่า รายการที่สองของคู่ หรืออีกทางหนึ่ง วัตถุถูกเรียกว่าส่วนประกอบ แรกและที่สอง พิกัดแรกและที่สอง หรือ การฉายภาพทางซ้ายและขวาของคู่ลำดับ

ผลคูณคาร์ทีเซียนและความสัมพันธ์แบบไบนารี (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน ) ถูกกำหนดโดยใช้คู่อันดับ ดูรูปภาพ

ให้และเป็นคู่อันดับ ดังนั้นคุณสมบัติเฉพาะ (หรือคุณสมบัติกำหนด ) ของคู่อันดับคือ:${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$$${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ ก็ต่อเมื่อ }}a_{1}=a_{2}{\text{ และ }}b_{1}=b_{2}.}$$

เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่มีรายการแรกอยู่ในเซตAและรายการที่สองอยู่ในเซตBเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของAและBและเขียนเป็นA × B ความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างเซตAและBเป็นเซตย่อยของA × B

สัญ กร ณ์ ( a , b )อาจใช้เพื่อจุดประสงค์อื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงช่วงเปิดบนเส้นจำนวนจริงในสถานการณ์เช่นนี้ บริบทมักจะทำให้ชัดเจนว่าตั้งใจให้มีความหมายอย่างไร^{[1] [2]}เพื่อความชัดเจนเพิ่มเติม คู่อันดับอาจแสดงด้วยสัญกรณ์แบบแปรผันแต่สัญกรณ์นี้ยังมีประโยชน์อื่นๆ อีกด้วย${\textstyle \langle a,b\rangle }$

ซ้ายและขวาการฉายภาพของคู่ pมักจะแสดงด้วย π ₁ ( p ) และ π ₂ ( p ) หรือโดย π _ℓ ( p ) และ π _r ( p ) ตามลำดับ ในบริบทที่พิจารณา n -tuples ใดๆ π^นิ
_ฉัน( t ) เป็นสัญกรณ์ทั่วไปสำหรับ องค์ประกอบ ที่ iของn - tuple t

ในตำราเรียนคณิตศาสตร์เบื้องต้นบางเล่มมีคำจำกัดความของคู่อันดับอย่างไม่เป็นทางการ (หรือตามสัญชาตญาณ) เช่น

สำหรับวัตถุสองชิ้นaและbคู่ลำดับ( a , b )จะเป็นสัญกรณ์ที่ระบุวัตถุสองชิ้นaและbตามลำดับนั้น^[3]

โดยทั่วไปขั้นตอนนี้จะตามด้วยการเปรียบเทียบกับเซตที่มีองค์ประกอบสององค์ประกอบ โดยชี้ให้เห็นว่าในเซตaและbจะต้องแตกต่างกัน แต่ในคู่ลำดับ องค์ประกอบทั้งสองอาจจะเท่ากันได้ และในขณะที่ลำดับการแสดงองค์ประกอบของเซตจะไม่สำคัญ แต่ในคู่ลำดับ การเปลี่ยนลำดับของรายการที่แตกต่างกันจะทำให้คู่ลำดับนั้นเปลี่ยนแปลงไป

"คำจำกัดความ" นี้ไม่น่าพอใจเพราะเป็นเพียงคำอธิบายและอาศัยความเข้าใจตามสัญชาตญาณเกี่ยวกับลำดับอย่างไรก็ตาม ดังที่มีการชี้ให้เห็นบางครั้ง การพึ่งพาคำอธิบายนี้จะไม่มีอันตรายใดๆ และแทบทุกคนจะคิดถึงคู่ลำดับในลักษณะนี้^[4]

แนวทางที่น่าพอใจกว่าคือการสังเกตว่าคุณสมบัติลักษณะเฉพาะของคู่อันดับที่กำหนดไว้ข้างต้นนั้นจำเป็นทั้งหมดในการทำความเข้าใจบทบาทของคู่อันดับในทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น คู่อันดับจึงถือเป็นแนวคิดดั้งเดิมที่มีสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องคือคุณสมบัติลักษณะเฉพาะ นี่คือแนวทางที่ กลุ่ม N. Bourbaki ใช้ ในทฤษฎีเซตซึ่งตีพิมพ์ในปี 1954 อย่างไรก็ตาม แนวทางนี้ยังมีข้อเสียเช่นกัน เนื่องจากต้องสันนิษฐานถึงการมีอยู่ของคู่อันดับและคุณสมบัติลักษณะเฉพาะของคู่อันดับโดยปริยาย^[3]

อีกวิธีหนึ่งในการจัดการกับคู่อันดับอย่างเข้มงวดคือการกำหนดคู่อันดับอย่างเป็นทางการในบริบทของทฤษฎีเซต ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธีและมีข้อดีคือสามารถพิสูจน์การมีอยู่และคุณสมบัติเฉพาะได้จากสัจพจน์ที่กำหนดทฤษฎีเซต คำจำกัดความนี้ได้รับการอ้างถึงมากที่สุดเวอร์ชันหนึ่งเนื่องมาจาก Kuratowski (ดูด้านล่าง) และคำจำกัดความของเขาถูกใช้ในTheory of Sets ของ Bourbaki ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1970 แม้แต่ตำราคณิตศาสตร์ที่ให้คำจำกัดความอย่างไม่เป็นทางการของคู่อันดับก็มักจะกล่าวถึงคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ Kuratowski ในแบบฝึกหัดด้วย

หากเราเห็นด้วยว่าทฤษฎีเซตเป็นรากฐานที่น่าสนใจของคณิตศาสตร์วัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะต้องถูกกำหนดให้เป็นเซตในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ดังนั้น หากคู่อันดับไม่ถือเป็นเซตดั้งเดิม จะต้องถูกกำหนดให้เป็นเซต^[5]คำจำกัดความทางทฤษฎีเซตหลายประการของคู่อันดับมีดังต่อไปนี้ (ดู^[6] ด้วย )

Norbert Wienerเสนอนิยามทางทฤษฎีเซตแรกของคู่อันดับในปี 1914: ^[7] เขาสังเกตว่านิยามนี้ทำให้สามารถกำหนดประเภทของPrincipia Mathematicaเป็นเซตได้Principia Mathematicaได้นำประเภทและความสัมพันธ์ของอาริตีทั้งหมดมาใช้เป็นเซต ดั้งเดิม$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$

Wiener ใช้ {{ b }} แทน { b } เพื่อให้คำจำกัดความเข้ากันได้กับทฤษฎีประเภทที่องค์ประกอบทั้งหมดในคลาสจะต้องมี "ประเภท" เดียวกัน เมื่อbซ้อนอยู่ในเซ็ตเพิ่มเติม ประเภทของ b จะเท่ากับ's${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่ Wiener (พ.ศ. 2457) เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟได้เสนอคำจำกัดความของเขาว่า: "โดยที่ 1 และ 2 เป็นวัตถุสองชิ้นที่แตกต่างกันจาก a และ b" ^[8]$${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$

ในปีพ.ศ. 2464 Kazimierz Kuratowskiเสนอคำจำกัดความที่ได้รับการยอมรับในปัจจุบัน^{[9] [10]} ของคู่ลำดับ ( a , b ) : เมื่อพิกัดแรกและที่สองเหมือนกัน คำจำกัดความจะได้ดังนี้:$${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$$${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

เมื่อกำหนดคู่ลำดับp บางคู่ คุณสมบัติ " xเป็นพิกัดแรกของp " สามารถกำหนดเป็น: คุณสมบัติ " xเป็นพิกัดที่สองของp " สามารถกำหนดเป็น: ในกรณีที่พิกัดด้านซ้ายและขวาเหมือนกัน สันธานขวาจะเป็นจริงได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากY ₁ ≠ Y ₂ไม่เคยเป็นกรณีนั้น$${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$$${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})).}$$ ${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}$

ถ้าอย่างนั้น:${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

วิธีที่เราสามารถแยกพิกัดแรกของคู่ได้คือดังนี้ (โดยใช้สัญลักษณ์การดำเนินการแบบวนซ้ำสำหรับจุดตัดและการรวมใดๆ ก็ได้ ):$${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

วิธีการแยกพิกัดที่สองได้ดังนี้:$${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(ถ้าดังนั้นเซต {y} สามารถหาได้ง่ายขึ้น: แต่สูตรก่อนหน้านี้ยังคำนึงถึงกรณีเมื่อ x=y อีกด้วย)${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$

สังเกตว่าและเป็นฟังก์ชันทั่วไปในความหมายที่ว่าโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นคลาส ที่เหมาะสม${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{2}}$

คำจำกัดความของ Kuratowski ข้างต้นสำหรับคู่ลำดับนั้น "เพียงพอ" ในแง่ที่ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติลักษณะเฉพาะที่คู่ลำดับจะต้องเป็นไปตาม นั่นคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำจำกัดความนี้แสดงถึง "ลำดับ" อย่างเหมาะสม ในแง่ที่เป็นเท็จ เว้นแต่ว่ามีคำจำกัดความอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันหรือมีความซับซ้อนน้อยกว่าซึ่งเพียงพอเช่นกัน:${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y)}$${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$${\displaystyle b=a}$

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}.}$^[11]

นิยามย้อนกลับเป็นเพียงรูปแบบที่ไม่สำคัญของนิยามของ Kuratowski และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีประโยชน์อิสระ นิยามshortถูกเรียกเช่นนี้เพราะต้องใช้วงเล็บ คู่สองคู่แทนที่จะเป็นสามคู่ การพิสูจน์ว่าshortตอบสนองคุณสมบัติลักษณะเฉพาะนั้นต้องใช้สัจพจน์ความสม่ำเสมอของ ทฤษฎี เซตZermelo–Fraenkel ^[12]ยิ่งไปกว่านั้น หากเราใช้การสร้างทฤษฎีเซตของฟอน นอยมันน์เกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ 2 ก็จะถูกกำหนดให้เป็นเซต {0, 1} = {0, {0}} ซึ่งแยกแยะไม่ออกจากคู่_short (0, 0) ข้อเสียอีกประการหนึ่งของ คู่ shortคือความจริงที่ว่า แม้ว่าaและbจะมีประเภทเดียวกัน แต่สมาชิกของ คู่ shortจะไม่เป็นแบบนั้น (อย่างไรก็ตาม หากa  =  bเวอร์ชันshortจะยังคงมีจำนวนสมาชิก 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวังได้จาก "คู่" ใดๆ รวมถึง "คู่อันดับ" ใดๆ)

พิสูจน์ : ( a , b ) = ( c , d )ก็ต่อเมื่อ a = cและb = d

Kuratowski :
ถ้า . ถ้าa = cและb = dแล้ว {{ a }, { a , b }} = {{ c } , { c , d }} ดังนั้น ( a, b ) _K = ( c , d ) _K

เฉพาะเมื่อ . สองกรณี: a = bและa ≠ b

ถ้าa = b :

( ก, ข ) _K = {{ ก }, { ก , ข }} = {{ ก }, { ก , ก }} = {{ ก }}.

{{ c }, { c , d }} = ( c , d ) _K = ( a , b ) _K = {{ a }}.

ดังนั้น { c } = { c , d } = { a } ซึ่งหมายความว่าa = c และ a = d โดยสมมติฐานa = bดังนั้นb = d

หากa ≠ bแล้ว ( a , b ) _K = ( c , d ) _Kแสดงว่า {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}

สมมติว่า { c , d } = { a } จากนั้นc = d = aและดังนั้น {{ c }, { c , d }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }} แต่แล้ว {{ a }, { a, b }} ก็จะเท่ากับ {{ a } } เช่นกัน ดังนั้นb = aซึ่งขัดแย้งกับa ≠ b

สมมติว่า { c } = { a , b } จากนั้นa = b = cซึ่งขัดแย้งกับa ≠ b เช่น กัน

ดังนั้น { c } = { a } ดังนั้นc = aและ { c , d } = { a , b }

ถ้าd = aเป็นจริง แล้ว { c , d } = { a , a } = { a } ≠ { a , b } จึงเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นd = b จึงเป็นกรณีที่a = cและb = d

ย้อนกลับ :
( a, b ) _{ย้อนกลับ} = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

ถ้า . ถ้า ( a, b ) _{ย้อนกลับ} = ( c, d ) _{ย้อนกลับ} , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K . ดังนั้นb = dและa = c .

เฉพาะเมื่อถ้าa = cและb = dแล้ว {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }} ดังนั้น ( a , b ) _reverse = ( c, d ) _reverse

สั้น: ^[13]

ถ้า : ถ้าa = cและb = dแล้ว { a , { a, b }} = { c , { c, d }} ดังนั้น ( a, b ) _short = ( c, d ) _short

เฉพาะในกรณีที่ : สมมติว่า { a , { a, b }} = { c , { c, d }} จากนั้นa จะอยู่ทางด้านซ้ายมือ และดังนั้นจึงอยู่ทางด้านขวามือ เนื่องจากเซตที่เท่ากันจะมีสมาชิกเท่ากัน ดังนั้น a = cหรือa = { c, d } ใดตัวหนึ่งต้องเป็นเช่นนั้น

หากa = { c, d } ดังนั้นเมื่อใช้เหตุผลคล้ายกับข้างต้น { a, b } อยู่ทางด้านขวามือ ดังนั้น { a, b } = cหรือ { a, b } = { c, d }

ถ้า { a, b } = cดังนั้นcจะอยู่ใน { c, d } = aและaอยู่ในcและการรวมกันนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของความสม่ำเสมอ เนื่องจาก { a, c } ไม่มีองค์ประกอบขั้นต่ำภายใต้ความสัมพันธ์ "องค์ประกอบของ"

ถ้า { a, b } = { c, d } แล้วaจะเป็นองค์ประกอบของaจากa = { c, d } = { a, b } ซึ่งขัดแย้งกับความสม่ำเสมออีกครั้ง

ดังนั้นa = cจะต้องถือ

เราจะเห็นอีกครั้งว่า { a, b } = cหรือ { a, b } = { c, d }

ตัวเลือก { a, b } = cและa = cหมายความว่าcเป็นองค์ประกอบของcซึ่งขัดแย้งกับความสม่ำเสมอ

ดังนั้นเรามีa = cและ { a, b } = { c, d } ดังนั้น: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d } ดังนั้นb = d

Rosser (1953) ^[14]ใช้คำจำกัดความของคู่อันดับตามแนวคิดของQuineซึ่งต้องการคำจำกัดความก่อนหน้าของ จำนวน ธรรมชาติให้เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติและกำหนดก่อน ฟังก์ชันจะเพิ่มอาร์กิวเมนต์หากเป็นจำนวนธรรมชาติและปล่อยให้เป็นเช่นเดิม มิฉะนั้น จำนวน 0 จะไม่ปรากฏเป็นค่าฟังก์ชันของAs เป็นเซตขององค์ประกอบของnot in ดำเนินต่อไปด้วย นี่คือภาพเซตของเซตภายใต้บางครั้งแสดงด้วยเช่นกัน การใช้ฟังก์ชันกับเซตxจะเพิ่มจำนวนธรรมชาติทุกตัวในเซตนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีเลข 0 เลย ดังนั้นสำหรับเซต x และ y ใดๆเพิ่มเติม กำหนดโดยสิ่ง นี้ จะมีเลข 0 เสมอ${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ''x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x)}$$${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$$${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$${\displaystyle \psi (x)}$

ในที่สุด ให้กำหนดคู่ลำดับ ( A , B ) ให้เป็นสหภาพที่แยกจากกัน (ซึ่งอยู่ในรูปแบบทางเลือก)$${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$

การแยกองค์ประกอบทั้งหมดของคู่ที่ไม่ประกอบด้วย 0 และย้อนกลับจะได้ผลลัพธ์เป็นAในทำนองเดียวกัน สามารถกู้คืน Bจากองค์ประกอบของคู่ที่มี 0 ได้^[15]${\displaystyle \varphi }$

ตัวอย่างเช่น คู่ข้อมูลได้รับการเข้ารหัสตามที่กำหนดไว้${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$

ในทฤษฎีประเภทและผลที่ตามมา เช่น ทฤษฎีเซตสัจพจน์NFคู่ควิน-รอสเซอร์มีประเภทเดียวกันกับการฉายภาพ และด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าคู่ลำดับ "ระดับประเภท" ดังนั้น คำจำกัดความนี้จึงมีข้อดีคือทำให้ฟังก์ชันซึ่งกำหนดเป็นเซตของคู่ลำดับ มีประเภทที่สูงกว่าประเภทของอาร์กิวเมนต์เพียง 1 เท่านั้น คำจำกัดความนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นกรณีในNFแต่ไม่ใช่ในทฤษฎีประเภทหรือในNFU J. Barkley Rosserแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของคู่ลำดับระดับประเภทดังกล่าว (หรือแม้แต่คู่ลำดับ "เพิ่มประเภทขึ้น 1") บ่งบอกถึงสัจพจน์ของอนันต์สำหรับการอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับคู่ลำดับในบริบทของทฤษฎีเซตควิน ให้ดูที่ Holmes (1998) ^[16]

ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาของทฤษฎีเซต ก่อนที่จะมีการค้นพบความขัดแย้ง แคนเตอร์ได้ปฏิบัติตามเฟรเกโดยกำหนดให้คู่อันดับของเซตสองเซตเป็นคลาสของความสัมพันธ์ทั้งหมดที่คงอยู่ระหว่างเซตเหล่านี้ โดยถือว่าแนวคิดของความสัมพันธ์นั้นเป็นแนวคิดพื้นฐาน: ^[17]$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

คำจำกัดความนี้ไม่สามารถยอมรับได้ในทฤษฎีเซตที่เป็นทางการสมัยใหม่ส่วนใหญ่ และมีความคล้ายคลึงกันในเชิงวิธีการกับการกำหนดคาร์ดินัลของเซตเป็นคลาสของเซตทั้งหมดที่มีศักยภาพเท่ากันกับเซตที่กำหนด^[18]

ทฤษฎีเซตของมอร์ส–เคลลีย์ใช้คลาสที่เหมาะสมได้อย่าง อิสระ ^[19] มอร์สได้กำหนดคู่อันดับในลักษณะที่การฉายภาพของมอร์สสามารถเป็นคลาสที่เหมาะสมและเซตได้ (คำจำกัดความของคูราตอฟสกี้ไม่อนุญาตให้ทำเช่นนี้) ก่อนอื่น เขาได้กำหนดคู่อันดับซึ่งการฉายภาพของมอร์สเป็นเซตในลักษณะของคูราตอฟสกี้ จากนั้น เขาได้กำหนดคู่ใหม่ โดย ที่ผลคูณคาร์ทีเซียนของส่วนประกอบคือคู่ของเซตของคูราตอฟสกี้ และที่ซึ่ง$${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$$${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

วิธีนี้ทำให้มีคู่ที่เป็นไปได้ซึ่งการฉายภาพเป็นคลาสที่เหมาะสม คำจำกัดความของ Quine–Rosser ข้างต้นยังยอมรับคลาสที่เหมาะสมเป็นการฉายภาพด้วย ในทำนองเดียวกัน ทริปเปิ้ลถูกกำหนดให้เป็น 3-ทูเพิล ดังต่อไปนี้:$${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

การใช้ชุดซิงเกิลตันที่มีชุดว่างที่แทรกเข้าไปจะทำให้ทูเพิลมีคุณสมบัติไม่ซ้ำกันคือ ถ้าaเป็น ทูเพิล nและ b เป็นทู เพิล mและa = bดังนั้นn = mทริปเปิ้ลที่มีลำดับซึ่งกำหนดให้เป็นคู่ที่มีลำดับจะไม่มีคุณสมบัตินี้เมื่อเทียบกับคู่ที่มีลำดับ${\displaystyle s(x)}$

คู่ลำดับสามารถแนะนำในทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZF) ได้ด้วยหลักการโดยเพียงแค่เพิ่มสัญลักษณ์ฟังก์ชันใหม่ของอาร์ริตี้ 2 ลงใน ZF (โดยปกติจะละเว้น) และหลักการนิยามสำหรับ: ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}$$

คำจำกัดความนี้เป็นที่ยอมรับได้เนื่องจากการขยาย ZF นี้เป็นการขยายแบบอนุรักษ์นิยม^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}

คำจำกัดความนี้จะช่วยหลีกเลี่ยงทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทโดยบังเอิญ เช่น (a,a) = {{a}} และ {a} ∈ (a,b) หากใช้คำจำกัดความของ Kuratowski (a,b) = {{a}, {a,b}}

ผล คูณเชิงทฤษฎีหมวดหมู่A × Bในหมวดหมู่ของเซตแสดงถึงเซตของคู่อันดับ โดยองค์ประกอบแรกมาจากAและองค์ประกอบที่สองมาจากBในบริบทนี้ คุณสมบัติลักษณะเฉพาะข้างต้นเป็นผลสืบเนื่องจากคุณสมบัติสากลของผลคูณและความจริงที่ว่าองค์ประกอบของเซตXสามารถระบุได้ด้วยมอร์ฟิซึมตั้งแต่ 1 (เซตองค์ประกอบเดียว) ถึงXแม้ว่าวัตถุต่าง ๆ อาจมีสมบัติสากล แต่ทั้งหมดล้วนมี ไอโซมอร์ฟิ ซึม ตามธรรมชาติ

• ผลคูณคาร์ทีเซียน
• ทฤษฎีเซตของทาร์สกี–โกรเธ็นดิเอค
• Trybulec, Andrzej, 1989, "ทฤษฎีเซต Tarski–Grothendieck" วารสารคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ (คำจำกัดความ Def5 ของ "คู่อันดับ" เป็น { { x,y }, { x } })