การหมุน (คณิตศาสตร์)

บทความนี้ต้องการการอ้างอิงเพิ่มเติมเพื่อการตรวจสอบโปรดช่วยปรับปรุงบทความนี้โดยเพิ่มการอ้างอิงจากแหล่งที่เชื่อถือได้เนื้อหาที่ไม่มีแหล่งที่มาอาจถูกโต้แย้งหรือลบออก ค้นหาแหล่งที่มา:  "การหมุน" คณิตศาสตร์ – ข่าว  ·หนังสือพิมพ์  ·หนังสือ  ·นักวิชาการ  · JSTOR ( กุมภาพันธ์ 2014 ) ( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

การหมุนในทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่มีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตการหมุนใดๆ ก็ตามคือการเคลื่อนที่ ของ พื้นที่หนึ่งที่รักษาจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ไว้ การหมุน สามารถอธิบายได้ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งรอบจุดคงที่ การหมุนอาจมีเครื่องหมาย (เช่นเครื่องหมายของมุม ) การหมุนตามเข็มนาฬิกาจะมีค่าเป็นลบ ดังนั้นการหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะมีค่าเป็นบวก การหมุนแตกต่างจากการเคลื่อนที่ประเภทอื่นๆ: การเลื่อนตำแหน่งซึ่งไม่มีจุดคงที่ และการสะท้อน (ไฮเปอร์เพลน)ซึ่งแต่ละจุดจะมี จุดคงที่ ในระนาบ เดียวที่มีมิติ ( n −  1)ในปริภูมิ n มิติ

ในทางคณิตศาสตร์ การหมุนคือแผนที่การหมุนทั้งหมดรอบจุดคงที่จะสร้างกลุ่มภายใต้องค์ประกอบที่เรียกว่ากลุ่มการหมุน (ของพื้นที่เฉพาะ) แต่ในกลศาสตร์และโดยทั่วไปในฟิสิกส์แนวคิดนี้มักเข้าใจกันว่าเป็นการแปลงพิกัด (ที่สำคัญคือการแปลงฐานมุมฉาก ) เนื่องจากการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ ก็ตามจะมีการแปลงผกผัน ซึ่งหากนำไปใช้กับกรอบอ้างอิงจะทำให้วัตถุอยู่ในพิกัดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ในสองมิติ การหมุนวัตถุ ตาม เข็มนาฬิการอบจุดโดยคงแกนไว้จะเทียบเท่ากับการหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุดเดียวกันในขณะที่วัตถุยังคงคงที่ การหมุนทั้งสองประเภทนี้เรียกว่าการแปลงเชิงรุกและเชิงรับ [ ^{1] [2]}

กลุ่มการหมุนเป็นกลุ่มไลของการหมุนรอบจุดคงที่จุดคง ที่หรือ จุดศูนย์กลาง (ทั่วไป) นี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของการหมุนและมักจะระบุด้วยจุดกำเนิดกลุ่มการหมุนเป็นตัวรักษาจุด ใน กลุ่ม การเคลื่อนไหว (ที่รักษาทิศทาง) ที่กว้างขึ้น

สำหรับการหมุนรอบหนึ่งโดยเฉพาะ:

• แกนหมุนเป็นเส้นตรงที่มีจุดคงที่ มีอยู่เพียงn = 3
• ระนาบการหมุนคือระนาบที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน ต่างจากแกน ตรงที่จุดต่างๆ ของแกนจะไม่คงที่ แกน (ถ้ามี) และระนาบการหมุนจะตั้งฉากกัน

การแสดงการหมุนเป็นรูปแบบเฉพาะที่ใช้เป็นพีชคณิตหรือเรขาคณิตเพื่อกำหนดพารามิเตอร์ให้กับแผนที่การหมุน ความหมายนี้ขัดแย้งกับความหมายในทฤษฎีกลุ่ม

การหมุนของจุดและปริภูมิเวกเตอร์ ที่เกี่ยวข้อง นั้นไม่สามารถแยกความแตกต่างได้อย่างชัดเจนเสมอไป บางครั้งเราเรียกการหมุนแบบแอฟฟีนว่า การหมุนแบบแอฟฟีน (แม้ว่าคำศัพท์นี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้) ในขณะที่การหมุนแบบแอฟฟีนคือการหมุนของเวกเตอร์ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความด้านล่าง

การเคลื่อนที่ของปริภูมิยุคลิดจะเหมือนกับไอโซเมตรี ของมัน นั่นคือ การเคลื่อนที่ดังกล่าวจะคงระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ ไว้ไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการแปลง แต่การหมุน (ที่เหมาะสม) จะต้องรักษาโครงสร้างการวางแนว ไว้ด้วย คำ ว่า " การหมุนที่ไม่เหมาะสม " หมายถึงไอโซเมตรีที่ย้อนกลับ (พลิกกลับ) การวางแนว ในภาษาของทฤษฎีกลุ่มความแตกต่างจะแสดงเป็น ไอโซเมตรี แบบตรงและแบบอ้อมในกลุ่มยุคลิดโดยแบบแรกประกอบด้วยส่วนประกอบเอกลักษณ์การเคลื่อนที่แบบตรงของยุคลิดใดๆ สามารถแสดงเป็นองค์ประกอบของการหมุนรอบจุดคงที่และการเคลื่อนที่แบบเลื่อน

ในอวกาศมิติเดียวมีเพียงการหมุนเล็กน้อย เท่านั้น ใน มิติสองจำเป็นต้องใช้ เพียง มุมเดียว เพื่อระบุการหมุนรอบ จุดกำเนิด ซึ่งก็คือ มุมของการหมุนที่ระบุองค์ประกอบของกลุ่มวงกลม (เรียกอีกอย่างว่าU(1) ) การหมุนทำหน้าที่หมุนวัตถุทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุมθ รอบ จุดกำเนิดดูรายละเอียดด้านล่าง องค์ประกอบของการหมุนจะรวมมุม ของการหมุนเป็น โมดูโล 1 รอบซึ่งหมายความว่าการหมุนสองมิติทั้งหมดรอบจุดเดียวกันจะเคลื่อนที่ไปมา โดยทั่วไป การหมุนรอบ จุด ต่างๆจะไม่เคลื่อนที่ไปมา การเคลื่อนที่ตรงสองมิติใดๆ จะเป็นการเคลื่อนที่แบบเลื่อนหรือการหมุน ดูรายละเอียด ใน ไอโซเมตรีของระนาบยูคลิด

การหมุนในปริภูมิสามมิติแตกต่างจากการหมุนในปริภูมิสองมิติในหลายๆ ด้านที่สำคัญ การหมุนในปริภูมิสามมิติโดยทั่วไปจะไม่สับเปลี่ยนดังนั้นลำดับในการหมุนจึงมีความสำคัญแม้จะอยู่ในจุดเดียวกัน นอกจากนี้ การเคลื่อนที่ตรงในปริภูมิสามมิติในตำแหน่งทั่วไปนั้นไม่ถือเป็นการหมุน แต่เป็นการหมุนแบบสกรูการหมุนรอบจุดกำเนิดมีสามองศาอิสระ (ดู รายละเอียด ในพิธีการหมุนในปริภูมิสามมิติ ) ซึ่งเท่ากับจำนวนมิติ การหมุนในปริภูมิสามมิติสามารถระบุได้หลายวิธี วิธีการที่ใช้กันมากที่สุดคือ:

• มุมออยเลอร์ (ตามภาพด้านซ้าย) การหมุนรอบจุดกำเนิดสามารถแสดงเป็นองค์ประกอบของการหมุนสามครั้งที่กำหนดให้เป็นการเคลื่อนที่ที่ได้จากการเปลี่ยนมุมออยเลอร์มุมใดมุมหนึ่งในขณะที่ปล่อยให้มุมอีกสองมุมคงที่ มุมเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็น ระบบ แกนหมุนแบบผสมเนื่องจากมุมถูกวัดโดยเทียบกับกรอบอ้างอิง ต่างๆ แบบผสมกัน แทนที่จะเป็นกรอบอ้างอิงเดียวที่เป็นภายนอกหรือภายในอย่างแท้จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมแรกจะเคลื่อนเส้นโหนดไปรอบแกนภายนอกzมุมที่สองจะหมุนรอบเส้นโหนด และมุมที่สามเป็นการหมุนภายใน (การหมุน) รอบแกนที่ยึดอยู่กับตัววัตถุที่เคลื่อนที่ โดยทั่วไป มุมออยเลอร์จะแสดงเป็นα , β , γหรือφ , θ , ψการนำเสนอนี้สะดวกสำหรับการหมุนรอบจุดคงที่เท่านั้น

• การแสดงมุมแกน (ภาพด้านขวา) ระบุมุมกับแกนที่เกิดการหมุน ซึ่งสามารถมองเห็นได้ง่าย มีสองรูปแบบในการแสดง:
  • เป็นคู่ประกอบด้วยมุมและเวกเตอร์หน่วยสำหรับแกนหรือ
  • เป็นเวกเตอร์แบบยูคลิดที่ได้จากการคูณมุมด้วยเวกเตอร์หน่วยนี้ เรียกว่าเวกเตอร์การหมุน (แม้ว่าโดยเคร่งครัดแล้ว จะเป็นเวกเตอร์เทียมก็ตาม )
• เมทริกซ์ ตัวแปร (ควอเทอร์เนียน) และ สิ่งเกี่ยวกับ พีชคณิต อื่น ๆ โปรดดูส่วนรูปแบบพีชคณิตเชิงเส้นและหลายเชิงเส้นเพื่อดูรายละเอียด

การหมุนทั่วไปในสี่มิติจะมีจุดคงที่เพียงจุดเดียวคือจุดศูนย์กลางของการหมุนและไม่มีแกนหมุน ดู รายละเอียดได้ ในการหมุนในปริภูมิยุคลิดสี่มิติการหมุนมีระนาบการหมุนตั้งฉากกันสองระนาบ ซึ่งแต่ละระนาบจะคงที่ในความหมายที่ว่าจุดในแต่ละระนาบจะอยู่ภายในระนาบ การหมุนมีมุมการหมุนสองมุม มุมหนึ่งสำหรับแต่ละระนาบการหมุนซึ่งจุดต่างๆ ในระนาบจะหมุนผ่าน ถ้ามุมเหล่านี้คือω ₁และω ₂จุดที่ไม่อยู่ในระนาบทั้งหมดจะหมุนผ่านมุมระหว่างω ₁และω ₂การหมุนในสี่มิติรอบจุดคงที่จะมีองศาอิสระหกองศา การเคลื่อนที่ตรงสี่มิติในตำแหน่งทั่วไปคือ การหมุนรอบจุดใดจุดหนึ่ง (เช่นเดียว กับ มิติยุคลิด ทั้งหมด) แต่การทำงานของสกรูก็มีอยู่เช่นกัน

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของปริภูมิยุคลิดที่รักษาต้น กำเนิดไว้ ความแตกต่างระหว่างจุดและเวกเตอร์ซึ่งมีความสำคัญในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สามารถลบล้างได้เนื่องจากมีความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตามหลักเกณฑ์ ระหว่างจุดและเวกเตอร์ตำแหน่งสิ่งเดียวกันนี้ใช้ได้กับเรขาคณิตอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ยุคลิดแต่ปริภูมิของเรขาคณิตดังกล่าวเป็นปริภูมิอะฟฟีนที่มีโครงสร้าง เสริม ดูตัวอย่างด้านล่าง อีกทางหนึ่ง คำอธิบายเวกเตอร์ของการหมุนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของการหมุนทางเรขาคณิตจนถึงองค์ประกอบพร้อมการเคลื่อนที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การหมุนเวกเตอร์หนึ่งครั้งจะแสดง การหมุน ที่เทียบเท่ากัน หลายรอบ เกี่ยวกับ จุด ทั้งหมดในปริภูมิ

การเคลื่อนที่ที่รักษาจุดกำเนิดไว้จะเหมือนกับตัวดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่รักษาโครงสร้างทางเรขาคณิตเดียวกันแต่แสดงเป็นเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์ยุคลิดนิพจน์นี้คือขนาด ของเวกเตอร์ ( บรรทัดฐานยุคลิด ) ในส่วนประกอบตัวดำเนินการดังกล่าวจะแสดงด้วยเมทริกซ์มุมฉากn  ×  n ที่คูณกับ เวก เตอร์ คอลัมน์

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว การหมุน (ที่ถูกต้อง) นั้นแตกต่างจากการเคลื่อนที่ในจุดคงที่โดยพลการในการรักษาทิศทางของปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้นตัวกำหนดของเมทริกซ์มุมฉากของการหมุนจะต้องเป็น 1 ความเป็นไปได้อื่นเพียงอย่างเดียวสำหรับตัวกำหนดของเมทริกซ์มุมฉากคือ−1และผลลัพธ์นี้หมายความว่าการแปลงเป็นการสะท้อนแบบไฮเปอร์เพลนการสะท้อนแบบจุด (สำหรับn คี่ ) หรือการหมุนที่ไม่เหมาะสม ประเภทอื่น เมทริกซ์ของการหมุนที่ถูกต้องทั้งหมดจะก่อตัวเป็นกลุ่ม มุมฉากพิเศษ

ในสองมิติ ในการทำการหมุนโดยใช้เมทริกซ์ จุด( x ,  y )ที่จะหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะถูกเขียนเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ จากนั้นคูณด้วยเมทริกซ์การหมุนที่คำนวณจากมุมθ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$-

พิกัดของจุดหลังการหมุนคือx′ ,  y′และสูตรสำหรับx′และy′คือ

${\displaystyle {\begin{จัดแนว}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{จัดแนว}}}$

เวกเตอร์และมีขนาดเท่ากันและมีมุมθ แยกจากกัน ตามที่คาดไว้${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$

จุดบน ระนาบ R2สามารถนำเสนอเป็นจำนวนเชิงซ้อน ได้เช่นกัน ^โดยจุด( x ,  y )ในระนาบแสดงด้วยจำนวนเชิงซ้อน

$z=x+iy = แสดงผล$

สามารถหมุนเป็นมุมθ ได้ โดยการคูณด้วย e ^iθจากนั้นขยายผลคูณโดยใช้สูตรของออยเลอร์ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{จัดแนว}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{จัดแนว}}}$

และการนำส่วนจริงและส่วนจินตภาพมาเท่ากันจะให้ผลลัพธ์เดียวกันกับเมทริกซ์สองมิติ:

${\displaystyle {\begin{จัดแนว}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{จัดแนว}}}$

เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนสร้างวงแหวนสับเปลี่ยนการหมุนของเวกเตอร์ในสองมิติจึงสับเปลี่ยน ซึ่งแตกต่างจากมิติที่สูงกว่า เวกเตอร์มีองศาอิสระ เพียงหนึ่งองศา เนื่องจากการหมุนดังกล่าวถูกกำหนดโดยมุมการหมุนทั้งหมด^[3]

ในสองมิติ เมทริกซ์สามารถใช้เพื่อหมุนจุด( x ,  y ,  z )ไปยังจุด( x′ ,  y′ ,  z′ )เมทริกซ์ที่ใช้คือเมทริกซ์ 3 × 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

คูณด้วยเวกเตอร์ที่แสดงจุดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

ชุดของเมทริกซ์ที่เหมาะสมทั้งหมดร่วมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์คือกลุ่มการหมุน SO(3)เมทริกซ์A เป็นสมาชิก ของกลุ่มมุมฉากพิเศษสามมิติSO(3)นั่นคือเป็นเมทริกซ์มุมฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 การที่เป็นเมทริกซ์มุมฉากหมายความว่าแถวเป็นชุดของเวกเตอร์หน่วย มุมฉาก (ดังนั้นจึงเป็นฐานมุมฉาก ) เช่นเดียวกับคอลัมน์ ทำให้ง่ายต่อการระบุและตรวจสอบได้ว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์การหมุนที่ถูกต้องหรือไม่

มุมออยเลอร์และการแสดงแกน-มุมที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถแปลงเป็นเมทริกซ์การหมุนได้อย่างง่ายดาย

ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งในการแสดงการหมุนของเวกเตอร์ยูคลิดสามมิติคือควอเทอร์เนียนตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ควอเทอร์เนียนหน่วยหรือเวอร์เซอร์เป็นการแสดงการหมุนสามมิติที่เข้าใจง่ายที่สุดในบางแง่ ควอเทอร์เนียนไม่ใช่ตัวอย่างสามมิติของแนวทางทั่วไป ควอเทอร์เนียนมีขนาดกะทัดรัดกว่าเมทริกซ์และใช้งานง่ายกว่าวิธีอื่นๆ ทั้งหมด จึงมักนิยมใช้ในงานจริง^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}

เวอร์เซอร์ (เรียกอีกอย่างว่าควอเทอร์เนียนการหมุน ) ประกอบด้วยจำนวนจริงสี่จำนวน ซึ่งกำหนดไว้ว่าบรรทัดฐานของควอเทอร์เนียนคือ 1 ข้อจำกัดนี้จำกัดองศาอิสระของควอเทอร์เนียนเป็นสามตามต้องการ ซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์และจำนวนเชิงซ้อน จำเป็นต้องคูณสองค่าดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

โดยที่qคือค่าเวอร์เซอร์q ⁻¹คือค่าผกผันและxคือเวกเตอร์ที่ถือเป็นควอเทอร์เนียนที่มีส่วนส เกลาร์ เป็นศูนย์ ควอเทอร์เนียนสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบเวกเตอร์การหมุนของการหมุนมุมแกนได้โดยใช้แผนที่เลขชี้กำลังเหนือควอเทอร์เนียน

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

โดยที่vคือเวกเตอร์การหมุนที่ถือเป็นควอเทอร์เนียน

การคูณด้วยเวอร์เซอร์ตัวเดียวไม่ว่าจะทางซ้ายหรือทางขวาถือเป็นการหมุน แต่ในสี่มิติ การหมุนสี่มิติใดๆ เกี่ยวกับจุดกำเนิดสามารถแสดงได้ด้วยการคูณควอเทอร์เนียนสองครั้ง คือ หนึ่งครั้งทางซ้ายและหนึ่งครั้งทางขวา โดยใช้ควอเทอร์เนียนหน่วย ต่างกัน สองตัว

โดยทั่วไป การหมุนพิกัดในมิติใดๆ จะแสดงโดยเมทริกซ์มุมฉาก ชุดของเมทริกซ์มุมฉากทั้งหมดในn มิติ ซึ่งอธิบายการหมุนที่เหมาะสม (ดีเท อ ร์มิแนนต์ = +1) ร่วมกับการดำเนินการคูณเมทริกซ์ จะก่อให้เกิดกลุ่มมุมฉากพิเศษ SO( n )

เมทริกซ์มักใช้สำหรับการแปลง โดยเฉพาะเมื่อมีการแปลงจุดจำนวนมาก เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้เป็นตัวแทนโดยตรงของตัวดำเนินการเชิงเส้นการหมุนที่แสดงในรูปแบบอื่นมักถูกแปลงเป็นเมทริกซ์ก่อนใช้งาน เมทริกซ์เหล่านี้สามารถขยายเพื่อแสดงการหมุนและการแปลงในเวลาเดียวกันโดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันการแปลงแบบโปรเจกทีฟแสดงด้วย เมทริกซ์ 4 × 4เมทริกซ์เหล่านี้ไม่ใช่เมทริกซ์การหมุน แต่การแปลงที่แสดงการหมุนแบบยูคลิดจะมี เมทริกซ์การหมุน 3 × 3ที่มุมซ้ายบน

ข้อเสียเปรียบหลักของเมทริกซ์คือการคำนวณและการคำนวณมีค่าใช้จ่ายสูงกว่า นอกจากนี้ ในการคำนวณที่มีปัญหาความไม่เสถียรของตัวเลขเมทริกซ์อาจมีแนวโน้มที่จะเกิดปัญหาดังกล่าวได้ง่ายกว่า ดังนั้น การคำนวณเพื่อคืนค่าความตั้งฉากซึ่งมีค่าใช้จ่ายสูงสำหรับเมทริกซ์ จึงจำเป็นต้องทำบ่อยขึ้น

ดังที่ได้สาธิตไว้ข้างต้น มี รูปแบบการหมุน พีชคณิตเชิงเส้นหลายรูปแบบ อยู่สาม รูปแบบ ได้แก่ รูปแบบหนึ่งที่มี U(1) หรือจำนวนเชิงซ้อน สำหรับมิติสองมิติ และอีกสองรูปแบบที่มีเวอร์เซอร์หรือควอเทอร์เนียน สำหรับมิติสามมิติและสี่มิติ

โดยทั่วไป (แม้กระทั่งสำหรับเวกเตอร์ที่มีรูปแบบกำลังสอง มิงกอฟสกี้แบบไม่ใช่ยุคลิด ) การหมุนของปริภูมิเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นไบเวกเตอร์ได้ รูปแบบนี้ใช้ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตและโดยทั่วไปแล้ว ใช้ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดสำหรับการแสดงกลุ่มลี

ในกรณีของรูปแบบกำลังสองแบบยุคลิดที่แน่นอนในเชิงบวกกลุ่มครอบคลุม สองชั้น ของกลุ่มไอโซเมตรีเรียกว่ากลุ่มสปินซึ่งสามารถอธิบายได้สะดวกโดยใช้พีชคณิตคลิฟฟอร์ด หน่วยควอเทอร์เนียนให้กลุ่ม${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$

ในเรขาคณิตทรงกลมการเคลื่อนที่ตรง^{ของทรง}กลมn มิติ(ตัวอย่างของเรขาคณิตแบบวงรี ) จะเหมือนกับการหมุนของ ปริภูมิยุคลิด ( n  + 1)มิติรอบจุดกำเนิด ( SO( ⁿ +  1) ) สำหรับn ที่เป็นเลขคี่ การเคลื่อนที่เหล่านี้ส่วนใหญ่ไม่มีจุดคงที่บน ทรงกลม n มิติ และหากพูดอย่างเคร่งครัดแล้ว ไม่ถือเป็นการหมุนของทรงกลมการเคลื่อนที่ดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าการแปลแบบคลิฟฟอร์ด [ ^{ต้องการการอ้างอิง ]}การหมุนรอบจุดคงที่ในเรขาคณิตแบบวงรีและไฮเปอร์โบลิกไม่ต่างจากการหมุนแบบยุคลิด^{[ ต้องการคำอธิบาย ]}

เรขาคณิตแบบอะฟฟีนและเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟไม่มีแนวคิดเรื่องการหมุนที่ชัดเจน

การสรุปความทั่วไปของการหมุนใช้ได้กับทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าการหมุนนั้นดำเนินการกับปริภูมิสี่มิติ คือปริภูมิเวลาซึ่งครอบคลุมด้วยปริภูมิสามมิติ และปริภูมิหนึ่ง คือ เวลา ในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ ปริภูมินี้เรียกว่าปริภูมิมิงกอฟสกี้และการหมุนสี่มิติ เรียกว่าการแปลงลอเรนซ์มีการตีความทางกายภาพ การแปลงเหล่านี้ยังคงรักษารูปแบบกำลังสองที่เรียกว่าช่วงปริภูมิเวลา

หากการหมุนของปริภูมิมิงกอฟสกี้อยู่ในระนาบคล้ายอวกาศ การหมุนนี้ก็จะเหมือนกับการหมุนในปริภูมิยุคลิด ในทางตรงกันข้าม การหมุนในระนาบที่ครอบคลุมโดยมิติคล้ายอวกาศและมิติคล้ายเวลาจะเป็นการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกและหากระนาบนี้มีแกนเวลาของกรอบอ้างอิง จะเรียกว่า "การเพิ่มของลอเรนซ์" การแปลงเหล่านี้แสดงให้เห็นถึง ธรรมชาติ แบบยุคลิดเทียมของปริภูมิมิงกอฟสกี้ การหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกบางครั้งอธิบายว่าเป็นการแมปบีบและมักปรากฏบนไดอะแกรมมิงกอฟสกี้ที่แสดงเรขาคณิตแบบยุคลิดเทียมมิติ (1 + 1) บนภาพวาดแบบระนาบ การศึกษาสัมพันธภาพเกี่ยวข้องกับกลุ่มลอเรนซ์ที่สร้างขึ้นจากการหมุนในปริภูมิและการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิก^[4]

ในขณะที่ การหมุน SO(3)ในฟิสิกส์และดาราศาสตร์สอดคล้องกับการหมุนของทรงกลมท้องฟ้าเป็นทรงกลม 2 วงในปริภูมิยูคลิด 3 การแปลงแบบลอเรนซ์จากSO(3;1) ⁺ทำให้เกิด การแปลง แบบคอนฟอร์มัลของทรงกลมท้องฟ้า ซึ่งเป็นคลาสที่กว้างกว่าของการแปลงทรงกลมที่เรียกว่าการแปลงเมอบิอุส

This section is empty. You can help by adding to it. (February 2014)

การหมุนเป็นตัวกำหนดคลาสที่สำคัญของความสมมาตรสมมาตรแบบหมุนเป็นค่าคงที่เมื่อเทียบกับการหมุนเฉพาะสมมาตรแบบวงกลมเป็นค่าคงที่เมื่อเทียบกับการหมุนทั้งหมดรอบแกนคงที่

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น การหมุนแบบยุคลิดใช้กับพลศาสตร์ของวัตถุแข็งนอกจากนี้ หลักการทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในฟิสิกส์ (เช่นแคลคูลัสเวกเตอร์ ) จะไม่เปลี่ยนแปลงการหมุน ดูการหมุนสำหรับลักษณะทางกายภาพเพิ่มเติม การหมุนแบบยุคลิดและสมมาตรลอเรนซ์โดยทั่วไปที่อธิบายข้างต้นถือเป็นกฎสมมาตรของธรรมชาติในทางตรงกันข้ามสมมาตรสะท้อนไม่ใช่กฎสมมาตรที่แม่นยำของธรรมชาติ

เมท ริกซ์ค่า เชิงซ้อนที่คล้ายกับเมทริกซ์มุมฉากจริงคือเมทริกซ์เอกภาพ ซึ่งแสดงถึงการหมุนในปริภูมิเชิงซ้อน เซตของเมทริกซ์เอกภาพทั้งหมดในมิติที่กำหนดnประกอบเป็นกลุ่มเอกภาพที่มีดีกรีnและกลุ่มย่อยของเมทริกซ์เอกภาพที่แสดงการหมุนที่เหมาะสม (ซึ่งรักษาทิศทางของปริภูมิไว้) คือกลุ่มเอกภาพพิเศษที่มีดีกรีnการหมุนเชิงซ้อนเหล่านี้มีความสำคัญในบริบทของสปิเนอร์องค์ประกอบของใช้เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ ของการหมุนแบบยุคลิด สามมิติ (ดูด้านบน) เช่นเดียวกับการแปลงของสปิน ที่เกี่ยวข้อง (ดูทฤษฎีการแสดงของ SU(2) )${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (February 2014)

• แกนหลักของเครื่องบิน
• การเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน
• แผนภูมิบน SO(3)
• การหมุนและการสะท้อนในสองมิติ
• คอร์ดิก
• การทำแผนที่แบบบีบ
• เมทริกซ์การหมุนแบบอนันต์
• การหมุนที่ไม่สมเหตุสมผล
• การวางแนว (เรขาคณิต)
• สูตรการหมุนของโรดริเกซ
• การหมุนของแกน
• กระแสน้ำวน

• เฮสเทเนส, เดวิด (1999). รากฐานใหม่สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก . ดอร์เดรชท์ : สำนักพิมพ์ Kluwer Academic . ISBN 0-7923-5514-8-

• Lounesto, Pertti (2001). พีชคณิตและสปิเนอร์ของคลิฟฟอร์ด . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-00551-7-

• Brannon, Rebecca M. (2002). "การทบทวนทฤษฎีบทที่มีประโยชน์ซึ่งเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์มุมฉากที่เหมาะสมซึ่งอ้างอิงถึงพื้นที่ทางกายภาพสามมิติ" (PDF) Albuquerque : Sandia National Laboratories