เมทริกซ์เอียงสมมาตร
รูปแบบของเมทริกซ์

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์เอียงสมมาตร (หรือแอนตี้สมมาตรหรือแอนตี้เมตริก[1] ) คือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีทรานสโพสเท่ากับค่าลบ นั่นคือ เมทริกซ์นี้ตรงตามเงื่อนไข[2] : หน้า 38 

เอ  ความเอียงแบบสมมาตร ⟺ เอ ที - − เอ - {\displaystyle A{\text{ เอียงสมมาตร}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}

ในแง่ของรายการของเมทริกซ์ ถ้าหมายถึงรายการในแถวที่ - และคอลัมน์ที่ - ดังนั้น เงื่อนไขสมมาตรเบ้จะเทียบเท่ากับ เอ ฉัน เจ {\textstyle a_{ij}} i {\textstyle i} j {\textstyle j}

A  skew-symmetric ⟺ a j i = − a i j . {\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.}

ตัวอย่าง

เมทริกซ์

A = [ 0 2 − 45 − 2 0 − 4 45 4 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}

มีความสมมาตรเบ้เนื่องจาก

− A = [ 0 − 2 45 2 0 4 − 45 − 4 0 ] = A T . {\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}

คุณสมบัติ

ตลอดมา เราถือว่ารายการเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นของฟิลด์ ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 นั่นคือ เราถือว่า1 + 1 ≠ 0โดยที่ 1 หมายถึงเอกลักษณ์การคูณ และ 0 หมายถึงเอกลักษณ์การบวกของฟิลด์ที่กำหนด หากลักษณะของฟิลด์คือ 2 เมทริกซ์เอียงสมมาตรก็จะเป็นสิ่งเดียวกันกับเมทริกซ์สมมาตร F {\textstyle \mathbb {F} }

  • ผลรวมของเมทริกซ์เอียงสมมาตรสองเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอียงสมมาตร
  • ผลคูณสเกลาร์ของเมทริกซ์เอียงสมมาตรคือเมทริกซ์เอียงสมมาตร
  • องค์ประกอบบนเส้นทแยงของเมทริกซ์สมมาตรเอียงมีค่าเป็นศูนย์ และดังนั้นรอย ของเมทริกซ์จึง เท่ากับศูนย์
  • หากเป็นเมทริกซ์สมมาตรเอียงจริง และเป็นค่าลักษณะ เฉพาะจริง ดังนั้นกล่าวคือ ค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์สมมาตรเอียงจะไม่เป็นค่าจริง A {\textstyle A} λ {\textstyle \lambda } λ = 0 {\textstyle \lambda =0}
  • หากเป็นเมทริกซ์สมมาตรเอียงจริง ดังนั้นจะสามารถผกผันได้โดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ A {\textstyle A} I + A {\textstyle I+A} I {\textstyle I}
  • หากเป็นเมทริกซ์เอียงสมมาตร แล้วจะเป็นเมทริกซ์กึ่งแน่นอนเชิงลบ แบบ สมมาตร A {\textstyle A} A 2 {\textstyle A^{2}}

โครงสร้างเวกเตอร์ปริภูมิ

จากคุณสมบัติสองประการแรกข้างต้น เซตของเมทริกซ์เอียงสมมาตรทั้งหมดที่มีขนาดคงที่จะสร้างปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิของเมทริกซ์เอียงสมมาตรมีมิติ n × n {\textstyle n\times n} 1 2 n ( n − 1 ) . {\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}

ให้แทนพื้นที่ของเมทริกซ์ เมทริกซ์เอียงสมมาตรถูกกำหนดโดยสเกลาร์ (จำนวนรายการเหนือเส้นทแยงมุมหลัก ) เมทริกซ์สมมาตรถูกกำหนดโดย สเกลาร์ (จำนวนรายการบนหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลัก) ให้แทนพื้นที่ของเมทริกซ์เอียงสมมาตรและแทนพื้นที่ของเมทริกซ์สมมาตร หากเป็นเช่นนั้น Mat n {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}} n × n {\textstyle n\times n} 1 2 n ( n − 1 ) {\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)} 1 2 n ( n + 1 ) {\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)} Skew n {\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}} n × n {\textstyle n\times n} Sym n {\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}} n × n {\textstyle n\times n} A ∈ Mat n {\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}} A = 1 2 ( A − A T ) + 1 2 ( A + A T ) . {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}

สังเกตว่าและนี่เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทุกตัว ที่มีรายการจากฟิลด์ ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะต่างจาก 2 จากนั้น เนื่องจากและ โดยที่แสดงถึง ผล รวม โดยตรง 1 2 ( A − A T ) ∈ Skew n {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}} 1 2 ( A + A T ) ∈ Sym n . {\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.} A {\textstyle A} Mat n = Skew n + Sym n {\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}} Skew n ∩ Sym n = { 0 } , {\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},} Mat n = Skew n ⊕ Sym n , {\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},} ⊕ {\displaystyle \oplus }

แสดงด้วยผลคูณภายในมาตรฐานของเมทริกซ์จริงจะสมมาตรเอียงก็ต่อเมื่อ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} n × n {\displaystyle n\times n} A {\textstyle A} ⟨ A x , y ⟩ = − ⟨ x , A y ⟩  for all  x , y ∈ R n . {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}

สิ่งนี้ยังเทียบเท่ากับfor all (นัยหนึ่งนั้นชัดเจน อีกนัยหนึ่งคือผลลัพธ์ที่ชัดเจนของfor all และ) ⟨ x , A x ⟩ = 0 {\textstyle \langle x,Ax\rangle =0} x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} ⟨ x + y , A ( x + y ) ⟩ = 0 {\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

เนื่องจากคำจำกัดความนี้เป็นอิสระจากการเลือกพื้นฐานความสมมาตรเบ้จึงเป็นสมบัติที่ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการเชิงเส้น และ การเลือกผลคูณภายใน เท่านั้น A {\displaystyle A}

3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} เมทริกซ์สมมาตรเบ้สามารถใช้แสดงผลคูณแบบไขว้ได้เช่น การคูณเมทริกซ์

นอกจากนี้ หากเป็นเมทริกซ์เอียงสมมาตร (หรือเอียงเฮอร์มิเชียน ) ดังนั้น สำหรับทุก A {\displaystyle A} x T A x = 0 {\displaystyle x^{T}Ax=0} x ∈ C n {\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}

ตัวกำหนด

ให้เป็นเมทริกซ์สมมาตรเบ้ตัวกำหนดของค่าจะ เป็นไปตาม A {\displaystyle A} n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A}

det ( A ) = det ( A T ) = det ( − A ) = ( − 1 ) n det ( A ) . {\displaystyle \det(A)=\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเลขคี่ และเนื่องจากฟิลด์พื้นฐานไม่ใช่ลักษณะเฉพาะ 2 ดีเทอร์มิแนนต์จึงหายไป ดังนั้น เมทริกซ์สมมาตรเบ้มิติคี่ทั้งหมดจึงเป็นเอกพจน์ เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเป็นศูนย์เสมอ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทของจาโคบีตามชื่อคาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Eves, 1980) n {\displaystyle n}

กรณีที่มีมิติคู่จะน่าสนใจกว่า ปรากฏว่าตัวกำหนดของคู่สามารถเขียนเป็นกำลังสองของพหุนามในรายการของซึ่งพิสูจน์ครั้งแรกโดยเคย์ลีย์: [3] A {\displaystyle A} n {\displaystyle n} A {\displaystyle A}

det ( A ) = Pf ⁡ ( A ) 2 . {\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}

พหุนามนี้เรียกว่าPfaffianของและแสดงด้วย ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตรเบ้จริงจึงไม่เป็นลบเสมอ อย่างไรก็ตาม ข้อเท็จจริงประการสุดท้ายนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเบื้องต้นดังนี้: ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรเบ้จริงเป็นจินตภาพล้วนๆ (ดูด้านล่าง) และค่าลักษณะเฉพาะคอนจูเกตของค่าลักษณะเฉพาะทุกค่าจะสอดคล้องกับความหลากหลายเท่ากัน ดังนั้น เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าที่ทำซ้ำตามความหลากหลาย จึงสรุปได้ทันทีว่าดีเทอร์มิแนนต์นั้น หากไม่ใช่ 0 จะเป็นจำนวนจริงบวก A {\displaystyle A} Pf ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}

Cayley, Sylvester และ Pfaff พิจารณาจำนวนเทอมที่แตกต่างกันในการขยายตัวกำหนดของเมทริกซ์สมมาตรเบ้ของลำดับ แล้ว เนื่องจากการยกเลิก จำนวนนี้จึงค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับจำนวนเทอมของตัวกำหนดของเมทริกซ์ทั่วไปของลำดับ ซึ่งคือลำดับ(ลำดับA002370ในOEIS ) คือ s ( n ) {\displaystyle s(n)} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n ! {\displaystyle n!} s ( n ) {\displaystyle s(n)}

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

และถูกเข้ารหัสในฟังก์ชั่นการสร้างเลขชี้กำลัง

∑ n = 0 ∞ s ( n ) n ! x n = ( 1 − x 2 ) − 1 4 exp ⁡ ( x 2 4 ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}

อย่างหลังนี้ยอมจำนนต่อผลลัพธ์เชิงอาการ (สำหรับคู่) n {\displaystyle n}

s ( n ) = π − 1 2 2 3 4 Γ ( 3 4 ) ( n e ) n − 1 4 ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}

จำนวนของเงื่อนไขเชิงบวกและเชิงลบมีประมาณครึ่งหนึ่งของทั้งหมด ถึงแม้ว่าความแตกต่างจะมีค่าเชิงบวกและเชิงลบเพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ ก็ตาม(ลำดับA167029ในOEIS ) n {\displaystyle n}

ผลคูณไขว้

เมทริกซ์เอียงสมมาตรขนาด 3x3 สามารถใช้แทนผลคูณแบบไขว้ได้ พิจารณาเวกเตอร์ จากนั้นกำหนดเมทริกซ์ a = ( a 1   a 2   a 3 ) T {\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}} b = ( b 1   b 2   b 3 ) T . {\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}

[ a ] × = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] , {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}

ผลคูณไขว้สามารถเขียนเป็น

a × b = [ a ] × b . {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .}

สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้ทันทีโดยคำนวณทั้งสองด้านของสมการก่อนหน้าและเปรียบเทียบองค์ประกอบที่สอดคล้องกันแต่ละองค์ประกอบในผลลัพธ์

จริงๆแล้วมีอันหนึ่ง

[ a × b ] × = [ a ] × [ b ] × − [ b ] × [ a ] × ; {\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}

กล่าวคือ ตัวสับเปลี่ยนของเมทริกซ์สามคูณสามแบบเอียงสมมาตรสามารถระบุได้ด้วยผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สามตัว เนื่องจากเมทริกซ์สามคูณสามแบบเอียงสมมาตรเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มการหมุนจึงทำให้สามารถอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สามมิติผลคูณไขว้ และการหมุนสามมิติได้ สามารถดูข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหมุนแบบอนันต์ด้านล่าง S O ( 3 ) {\textstyle SO(3)} R 3 {\textstyle \mathbb {R} ^{3}}

ทฤษฎีสเปกตรัม

เนื่องจากเมทริกซ์มีความคล้ายคลึงกับทรานสโพสของตัวเอง จึงต้องมีค่าลักษณะเฉพาะเหมือนกัน ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เอียงสมมาตรจึงมาในคู่ ±λ เสมอ (ยกเว้นในกรณีที่มีมิติคี่ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ 0 ที่ไม่จับคู่เพิ่มเติม) จากทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์เอียงสมมาตรจริง ค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะเป็นจินตภาพ บริสุทธิ์ และจึงอยู่ในรูปแบบที่แต่ละค่าเป็นจริง λ 1 i , − λ 1 i , λ 2 i , − λ 2 i , … {\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots } λ k {\displaystyle \lambda _{k}}

เมทริกซ์เอียงสมมาตรจริงคือเมทริกซ์ปกติ (เมทริกซ์เหล่านี้จะสลับกับเมทริกซ์เสริม ) และจึงอยู่ภายใต้ทฤษฎีบทสเปกตรัมซึ่งระบุว่าเมทริกซ์เอียงสมมาตรจริงใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นเส้นทแยงมุมได้ด้วยเมทริกซ์เอกภาพ เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เอียงสมมาตรจริงเป็นค่าจินตภาพ จึงไม่สามารถแปลงเป็นเส้นทแยงมุมได้ด้วยเมทริกซ์จริง อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะนำเมทริกซ์เอียงสมมาตรทุกเมทริกซ์ไปเป็น รูปแบบ เส้นทแยงมุมแบบบล็อกด้วย การแปลง มุมฉากพิเศษ[4] [5]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์เอียงสมมาตรจริงทุกเมทริกซ์สามารถเขียนในรูปแบบที่ตั้งฉาก และ 2 n × 2 n {\displaystyle 2n\times 2n} A = Q Σ Q T {\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}} Q {\displaystyle Q}

Σ = [ 0 λ 1 − λ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 λ 2 − λ 2 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 λ r − λ r 0 0 ⋱ 0 ] {\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}

สำหรับค่าบวกที่แน่นอนจริงค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์นี้คือ ±λ k iในกรณีมิติคี่ Σ จะมีแถวและคอลัมน์ของศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวเสมอ λ k {\displaystyle \lambda _{k}}

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์สมมาตรเอียงเชิงซ้อนทุกเมทริกซ์สามารถเขียนในรูปแบบที่เป็นเอกภาพและมีรูปแบบบล็อก-แนวทแยงมุมดังที่แสดงไว้ข้างต้น โดยที่ยังคงเป็นค่าบวกแน่นอนจริง นี่คือตัวอย่างของการแยกย่อย Youla ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเชิงซ้อน[6] A = U Σ U T {\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }} U {\displaystyle U} Σ {\displaystyle \Sigma } λ k {\displaystyle \lambda _{k}}

รูปแบบเอียงสมมาตรและสลับกัน

รูปแบบสมมาตรเบ้ บนปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะใดๆ ถูกกำหนดให้เป็นรูปแบบบิลิเนียร์ φ {\displaystyle \varphi } V {\displaystyle V} K {\displaystyle K}

φ : V × V ↦ K {\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}

เพื่อให้ทุกคนใน v , w {\displaystyle v,w} V , {\displaystyle V,}

φ ( v , w ) = − φ ( w , v ) . {\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}

สิ่งนี้จะกำหนดรูปแบบที่มีคุณสมบัติที่ต้องการสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 แต่ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 คำจำกัดความจะเทียบเท่ากับรูปแบบสมมาตร เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบเป็นค่าผกผันของการบวกของตัวเอง

โดยที่ปริภูมิเวกเตอร์ อยู่เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะ เฉพาะใดๆ รวมทั้งลักษณะเฉพาะ 2 เราอาจกำหนดรูปแบบสลับกันเป็นรูปแบบบิลิเนียร์โดยที่สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดใน V {\displaystyle V} φ {\displaystyle \varphi } v {\displaystyle v} V {\displaystyle V}

φ ( v , v ) = 0. {\displaystyle \varphi (v,v)=0.}

นี่เทียบเท่ากับรูปแบบสมมาตรเบ้เมื่อฟิลด์ไม่มีลักษณะ 2 ดังที่เห็นจาก

0 = φ ( v + w , v + w ) = φ ( v , v ) + φ ( v , w ) + φ ( w , v ) + φ ( w , w ) = φ ( v , w ) + φ ( w , v ) , {\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}

จากไหน

φ ( v , w ) = − φ ( w , v ) . {\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}

รูปแบบบิลิเนียร์จะแสดงโดยเมทริกซ์โดยที่เมื่อเลือกฐานของ แล้ว ในทางกลับกัน เมทริกซ์บนจะทำให้เกิดแบบฟอร์มที่ส่งไปยัง สำหรับแต่ละรูปแบบสมมาตร สมมาตรเบ้-สมมาตร และแบบสลับ เมทริกซ์ที่แสดงจะเป็นแบบสมมาตร สมมาตรเบ้-สมมาตร และแบบสลับ ตามลำดับ φ {\displaystyle \varphi } A {\displaystyle A} φ ( v , w ) = v T A w {\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw} V {\displaystyle V} n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} K n {\displaystyle K^{n}} ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} v T A w . {\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}

การหมุนแบบอนันต์

เมทริกซ์เอียงสมมาตรเหนือฟิลด์ของจำนวนจริงจะสร้างพื้นที่สัมผัส กับ กลุ่มมุมฉาก จริงที่เมทริกซ์เอกลักษณ์ อย่างเป็นทางการคือพีชคณิตลีมุมฉากพิเศษในแง่นี้ เมทริกซ์เอียงสมมาตรสามารถคิดได้ว่าเป็นการหมุนแบบอนันต์ O ( n ) {\displaystyle O(n)}

อีกวิธีหนึ่งในการพูดเรื่องนี้ก็คือว่าปริภูมิของเมทริกซ์เอียงสมมาตรจะสร้างพีชคณิตลี ของกลุ่มลีวงเล็บลีบนปริภูมินี้กำหนดโดยตัวสับเปลี่ยน : o ( n ) {\displaystyle o(n)} O ( n ) . {\displaystyle O(n).}

[ A , B ] = A B − B A . {\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}

การตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าคอมมิวเตเตอร์ของเมทริกซ์เอียงสมมาตรสองเมทริกซ์นั้นสมมาตรเอียงอีกครั้งนั้นทำได้ง่าย:

[ A , B ] T = B T A T − A T B T = ( − B ) ( − A ) − ( − A ) ( − B ) = B A − A B = − [ A , B ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}

เมทริกซ์เลขชี้กำลังของเมทริกซ์เอียงสมมาตรคือเมทริกซ์มุมฉาก : A {\displaystyle A} R {\displaystyle R}

R = exp ⁡ ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! . {\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}

ภาพของแผนที่เลขชี้กำลังของพีชคณิตลีจะอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของกลุ่มลีที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์เสมอ ในกรณีของกลุ่มลีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันนี้คือกลุ่มออร์โธกอนัลพิเศษที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ออร์โธกอนัลทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 ดังนั้นจะมีดีเทอร์มิแนนต์ +1 นอกจากนี้ เนื่องจากแผนที่เลขชี้กำลังของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันแบบกะทัดรัดจะเป็นแบบเซอร์เจกทีฟเสมอ จึงปรากฏว่า เมทริกซ์ออร์โธกอนัล ทุกตัวที่มีดีเทอร์มิแนนต์หน่วยสามารถเขียนเป็นเลขชี้กำลังของเมทริกซ์เอียงสมมาตรได้ ในกรณีสำคัญเฉพาะของมิติ การแสดงเลขชี้กำลังสำหรับเมทริกซ์ออร์โธกอนัลจะลดลงเหลือ รูปแบบโพลาที่ทราบกันดีของโมดูลัสหน่วยเชิงซ้อน อันที่จริง หากเมทริกซ์ออร์โธกอนัลพิเศษมีรูปแบบ O ( n ) , {\displaystyle O(n),} S O ( n ) , {\displaystyle SO(n),} R = exp ⁡ ( A ) {\displaystyle R=\exp(A)} n = 2 , {\displaystyle n=2,} n = 2 , {\displaystyle n=2,}

[ a − b b a ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}

ด้วย. ดังนั้นการใส่และมันสามารถเขียนได้ a 2 + b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1} a = cos ⁡ θ {\displaystyle a=\cos \theta } b = sin ⁡ θ , {\displaystyle b=\sin \theta ,}

[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] = exp ⁡ ( θ [ 0 − 1 1 0 ] ) , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}

ซึ่งสอดคล้องอย่างแน่นอนกับรูปแบบเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อนของโมดูลัสหน่วย cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}

การแทนค่าแบบเลขชี้กำลังของเมทริกซ์มุมฉากของลำดับนั้นสามารถหาได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในมิติเมทริกซ์มุมฉากพิเศษใดๆ สามารถเขียนเป็น โดยที่เป็นมุมฉาก และ S เป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุมแบบบล็อกที่มีบล็อกลำดับที่ 2 บวกกับบล็อกลำดับที่ 1 หากเป็นเลขคี่ เนื่องจากบล็อกลำดับที่ 2 แต่ละบล็อกก็เป็นเมทริกซ์มุมฉากเช่นกัน จึงยอมรับรูปแบบเลขชี้กำลัง ดังนั้น เมทริกซ์  Sจึงเขียนเป็นเลขชี้กำลังของเมทริกซ์บล็อกเอียงสมมาตรในรูปแบบข้างต้นดังนั้นเลขชี้กำลังของเมทริกซ์เอียงสมมาตรในทางกลับกัน ความเป็นเส้นตรงของแผนที่เลขชี้กำลัง ร่วมกับเส้นทแยงมุมแบบบล็อกที่กล่าวถึงข้างต้นสำหรับเมทริกซ์เอียงสมมาตร แสดงถึงเส้นทแยงมุมแบบบล็อกสำหรับเมทริกซ์มุมฉาก n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} R {\displaystyle R} R = Q S Q T , {\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},} Q {\displaystyle Q} ⌊ n / 2 ⌋ {\textstyle \lfloor n/2\rfloor } n {\displaystyle n} Σ {\displaystyle \Sigma } S = exp ⁡ ( Σ ) , {\displaystyle S=\exp(\Sigma ),} R = Q exp ⁡ ( Σ ) Q T = exp ⁡ ( Q Σ Q T ) , {\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),} Q Σ Q T . {\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}

ไร้พิกัด

การแปลงเชิงเส้นสมมาตรเอียงบนปริภูมิเวกเตอร์ ที่มีผลคูณภายในโดยเนื้อแท้ (กล่าวคือ ไม่ใช้พิกัด) อาจกำหนดให้เป็นไบเวกเตอร์บนปริภูมิ ซึ่งเป็นผลรวมของไบเวกเตอร์ธรรมดา ( ใบมีด 2 ใบ ) ความสอดคล้องกันนี้กำหนดโดยแผนที่โดยที่เป็นโคเวกเตอร์คู่กับเวกเตอร์ในพิกัดออร์โธนอร์มอล เมทริกซ์เหล่านี้คือเมทริกซ์สมมาตรเอียงเบื้องต้นโดยแท้ ลักษณะเฉพาะนี้ใช้ในการตีความความโค้งของสนามเวกเตอร์ (โดยธรรมชาติคือเวกเตอร์ 2 ใบ) ว่าเป็นการหมุนแบบอนันต์หรือ "ความโค้ง" ดังนั้นจึงได้ชื่อนี้ V {\displaystyle V} v ∧ w . {\textstyle v\wedge w.} v ∧ w ↦ v ∗ ⊗ w − w ∗ ⊗ v , {\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,} v ∗ {\textstyle v^{*}} v {\textstyle v}

เมทริกซ์เอียงสมมาตร

เมทริกซ์จะเรียกว่าสมมาตรเอียงได้หากมีเมทริกซ์แนวทแยง ที่กลับด้านได้ ซึ่งสมมาตรเอียง สำหรับ เมทริกซ์ จริงบางครั้งเงื่อนไขสำหรับการมีค่าบวกจะถูกเพิ่มเข้าไป[7] n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} D {\displaystyle D} D A {\displaystyle DA} n × n {\displaystyle n\times n} D {\displaystyle D}

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ Richard A. Reyment; KG Jöreskog ; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences . Cambridge University Press. หน้า 68 ISBN 0-521-57556-7-
  2. ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (กันยายน 2548). โครงร่างทฤษฎีและปัญหาของพีชคณิตเชิงเส้นของ Schaum . McGraw-Hill. ISBN 9780070605022-
  3. ↑ เคย์ลีย์, อาเธอร์ (1847) "Sur les determinants gauches" [เกี่ยวกับปัจจัยกำหนดความเอียง] บันทึกของ Crelle . 38 : 93–96.พิมพ์ซ้ำในCayley, A. (2009) "Sur les Déterminants Gauches". เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่รวบรวม ฉบับที่ 1. หน้า 410–413. ดอย :10.1017/CBO9780511703676.070. ไอเอสบีเอ็น 978-0-511-70367-6-
  4. ↑ ดูพลิจ ส.; นิกิติน, อ.; กัลคิน, อ.; Sergyeyev, A.; ต้าอี้, OF; โมฮาพัตรา ร.; ลิปาตอฟ, ล.; ดันน์ ก.; ไฟน์เบิร์ก เจ.; อาโอยามะ เอช.; โวโรนอฟ, ต. (2004) "พัฟเฟียน". ใน Duplij, S.; ซีเกล ว.; Bagger, J. (บรรณาธิการ). สารานุกรมกระชับของสมมาตรยิ่งยวด . สปริงเกอร์. พี 298. ดอย :10.1007/1-4020-4522-0_393.
  5. ^ Zumino, Bruno (1962). "Normal Forms of Complex Matrices". Journal of Mathematical Physics . 3 (5): 1055–7. Bibcode :1962JMP.....3.1055Z. doi :10.1063/1.1724294.
  6. ^ Youla, DC (1961). "รูปแบบปกติสำหรับเมทริกซ์ภายใต้กลุ่มความสอดคล้องเชิงเอกภาพ" Can. J. Math . 13 : 694–704. doi : 10.4153/CJM-1961-059-8 .
  7. ^ โฟมิน, เซอร์เกย์; เซเลวินสกี้, อังเดรย์ (2001). "พีชคณิตคลัสเตอร์ I: รากฐาน". arXiv : math/0104151v1 .

อ่านเพิ่มเติม

  • "เมทริกซ์แอนติสมมาตร" Wolfram Mathworld
  • เบ็นเนอร์, ปีเตอร์; เครสเนอร์, แดเนียล. “HAPACK – ซอฟต์แวร์สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ (Skew-)Hamiltonian”
  • Ward, RC; Gray, LJ (1978). "อัลกอริทึม 530: อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณระบบลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เอียงสมมาตรและคลาสของเมทริกซ์สมมาตร [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software . 4 (3): 286. doi : 10.1145/355791.355799 . S2CID  8575785.ฟอร์แทรน ฟอร์แทรน90
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Skew-symmetric_matrix&oldid=1249984371"