การแปลของขวาน

ในทางคณิตศาสตร์การแปลแกนในสองมิติคือการแมปจากระบบพิกัดxy-คา ร์ทีเซียน ไปยัง ระบบพิกัด x'y'-คาร์ทีเซียน โดยที่แกนx' ขนานกับ แกน xและ อยู่ห่างออกไป kหน่วย และ แกน y'ขนานกับ แกน yและ อยู่ห่างออกไป hหน่วย ซึ่งหมายความว่าจุดกำเนิดO'ของระบบพิกัดใหม่มีพิกัด ( h , k ) ในระบบเดิม ทิศทางบวกของx'และy'ถือเป็นทิศทางเดียวกับทิศทางบวกของxและyจุดPมีพิกัด ( x , y ) เทียบกับระบบเดิม และพิกัด ( x' , y' ) เทียบกับระบบใหม่ โดยที่

${\displaystyle x=x'+ชม.}$     และ     $การแสดงผลสไตล์ y=y'+k$

( 1 )

หรือเทียบเท่า

$การแสดงผล x'=xh$     และ[1] [2]     ${\displaystyle y'=yk.}$

( 2 )

ในระบบพิกัดใหม่ จุดPจะดูเหมือนถูกเลื่อนไปในทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น หาก ระบบ xyถูกเลื่อนไปทางขวาเป็น ระยะทาง h และไปทางขึ้นเป็นระยะทาง kดังนั้นPจะดูเหมือนถูกเลื่อนไปทางซ้าย เป็นระยะทาง h และไปทางลงเป็นระยะทาง kใน ระบบ x'y'การเลื่อนของแกนในมิติที่มากกว่าสองมิติถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน^[3]การเลื่อนของแกนเป็นการแปลงแบบแข็งแต่ไม่ใช่แผนที่เชิงเส้น (ดูการแปลงแบบแอฟฟีน )

ระบบพิกัดมีความจำเป็นสำหรับการศึกษาสมการของเส้นโค้งโดยใช้หลักการของเรขาคณิตวิเคราะห์ ในการใช้หลักการ ของ เรขาคณิตเชิงพิกัด แกนต่างๆ จะถูกวางไว้ในตำแหน่งที่เหมาะสมเมื่อเทียบกับเส้นโค้งที่กำลังพิจารณา ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาสมการของ วงรีและไฮเปอร์โบลาจุดโฟกัสมักจะอยู่บนแกนใดแกนหนึ่งและตั้งอยู่ในตำแหน่งสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด หากเส้นโค้ง (ไฮเปอร์โบลา พาราโบลาวงรี เป็นต้น) ไม่ ได้ อยู่ในตำแหน่งที่เหมาะสมเมื่อเทียบกับแกนต่างๆ ควรเปลี่ยนระบบพิกัดเพื่อวางเส้นโค้งในตำแหน่งและทิศทางที่สะดวกและคุ้นเคย กระบวนการในการเปลี่ยนแปลงนี้เรียกว่าการแปลงพิกัด^[4 ]

แนวทางแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมายสามารถทำให้เรียบง่ายขึ้นได้โดยการแปลแกนพิกัดเพื่อให้ได้แกนใหม่ที่ขนานกับแกนเดิม^[5]

การเปลี่ยนแปลงพิกัดทำให้สมการของภาคตัดกรวยสามารถอยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ ซึ่งโดยปกติแล้วจะใช้งานได้ง่ายกว่า สำหรับสมการทั่วไปที่สุดของดีกรีที่สอง ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$     ( และไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด )${\displaystyle ก}$${\displaystyle บี}$${\displaystyle ซี}$

( 3 )

มันเป็นไปได้เสมอที่จะทำการหมุนแกนในลักษณะที่ในระบบใหม่สมการจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$     ( และไม่ใช่ทั้งสองศูนย์);${\displaystyle ก}$${\displaystyle ซี}$

( 4 )

นั่นคือ การกำจัดพจน์xy ^[6] ต่อไป การแปลแกนสามารถลดสมการในรูปแบบ ( 3 ) ให้เป็นสมการในรูปแบบเดียวกัน แต่มีตัวแปรใหม่ ( x' , y' ) เป็นพิกัด และโดยที่DและEทั้งคู่มีค่าเท่ากับศูนย์ (โดยมีข้อยกเว้นบางประการ เช่น พาราโบลา) เครื่องมือหลักในกระบวนการนี้คือ "การทำให้กำลังสองสมบูรณ์" ^[7] ในตัวอย่างต่อไปนี้ จะถือว่ามีการหมุนแกนเกิดขึ้นแล้ว

กำหนดสมการ

${\displaystyle 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,}$

โดยใช้การแปลแกน กำหนดว่าตำแหน่งของสมการเป็นพาราโบลา วงรี หรือไฮเพอร์โบลา กำหนดจุดโฟกัสจุดยอดและความ เยื้องศูนย์กลาง

วิธีแก้: เพื่อทำให้xและy สมบูรณ์ ให้เขียนสมการในรูปแบบ

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.}$

กรอกช่องให้ครบแล้วรับ

$9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

กำหนด

${\displaystyle x'=x+1}$     และ     $y'=y-2.} การแสดงผล$

นั่นคือการแปลในสมการ ( 2 ) จะทำด้วย สมการในระบบพิกัดใหม่คือ$_{\displaystyle h=-1,k=2.}$

${\displaystyle 9x'^{2}+25y'^{2}=225.}$

( 5 )

หารสมการ ( 5 ) ด้วย 225 เพื่อให้ได้

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,}$

ซึ่งสามารถจดจำได้ในรูปวงรี ใน ระบบ x'y'เรามี: จุดศูนย์กลาง; จุดยอด; จุดโฟกัส${\displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (\นาที 5,0)}$${\displaystyle (\น.4,0).}$

ใน ระบบ xyให้ใช้ความสัมพันธ์เพื่อรับ: จุดศูนย์กลาง; จุดยอด; จุดโฟกัส; ความเยื้องศูนย์กลาง^[8]${\displaystyle x=x'-1,y=y'+2}$${\displaystyle (-1,2)}$${\displaystyle (4,2),(-6,2)}$${\displaystyle (3,2),(-5,2)}$${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}.}$

สำหรับ ระบบพิกัด xyz-คาร์ทีเซียนในสามมิติ สมมติว่ามีการนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่สองมาใช้ โดยมีแกนx' , y'และz'อยู่ในตำแหน่งที่ แกน x'ขนานกับ แกน xและ อยู่ห่าง จากแกน x h หน่วย แกน y'ขนานกับ แกน yและ อยู่ห่างจากแกน kหน่วย และ แกน z'ขนานกับ แกน zและ อยู่ห่างจากแกน z lหน่วย จุดPในอวกาศจะมีพิกัดในทั้งสองระบบ ถ้าพิกัดของจุด P คือ ( x , y , z ) ในระบบเดิม และ ( x' , y' , z' ) ในระบบที่สอง สมการ

${\displaystyle x'=xh,\qquad y'=yk,\qquad z'=zl}$

( 6 )

ยึด^[9]สมการ ( 6 ) กำหนดการแปลของแกนในสามมิติ โดยที่ ( h , k , l ) คือ พิกัด xyzของจุดกำเนิดใหม่^[10] การแปลของแกนในมิติจำกัดจำนวนใดๆ ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

ในช่องว่างสามช่อง สมการทั่วไปที่สุดของดีกรีที่สองในx , yและzมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle ขวาน^{2}+โดย^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

( 7 )

โดยที่ปริมาณเป็นจำนวนบวกหรือลบหรือศูนย์ จุดในอวกาศที่ตอบสนองสมการดังกล่าวทั้งหมดอยู่บนพื้นผิวสมการกำลังสองใดๆ ที่ไม่ลดรูปลงเหลือทรงกระบอก ระนาบ เส้นตรง หรือจุด จะสอดคล้องกับพื้นผิวที่เรียกว่ากำลังสอง^[11]${\displaystyle A,B,C,\lจุด,J}$

ในกรณีของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ระนาบ วิธีการแปลแกนอาจใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสมการกำลังสอง ซึ่งทำให้เห็นลักษณะของพื้นผิวกำลังสองบางส่วนได้ชัดเจน เครื่องมือหลักในกระบวนการนี้คือ "การทำให้กำลังสองสมบูรณ์" ^[12]

ใช้การแปลพิกัดเพื่อระบุพื้นผิวสี่เหลี่ยม

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

วิธีแก้ : เขียนสมการในรูป

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

กรอกช่องให้ครบเพื่อรับ

${\displaystyle (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{ \tfrac {27}{4}}.}$

แนะนำการแปลพิกัด

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.}$

สมการของพื้นผิวจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

ซึ่งสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นสมการของทรงรี^[13]

• การเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน
• การแปล (เรขาคณิต)

• Anton, Howard (1987), พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น (ฉบับที่ 5), นิวยอร์ก: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), แคลคูลัสวิทยาลัยพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์ (ฉบับที่ 2), การอ่าน: Addison-Wesley , LCCN  76087042