สูตรอักขระไวล์

ในทางคณิตศาสตร์สูตรอักขระไวล์ในทฤษฎีการแทนค่าจะอธิบายลักษณะของการแทนค่าที่ลดรูปไม่ได้ของกลุ่มลีที่กะทัดรัดในรูปของน้ำหนักสูงสุด [ ^1]ได้รับการพิสูจน์โดย Hermann Weyl  (1925, 1926a, 1926b) มีสูตรที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดสำหรับลักษณะของการแทนค่าที่ลดรูปไม่ได้ของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย^[2]ในแนวทางของไวล์ต่อทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มลีที่กะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันการพิสูจน์สูตรอักขระเป็นขั้นตอนสำคัญในการพิสูจน์ว่าองค์ประกอบอินทิกรัลเด่นทุกองค์ประกอบเกิดขึ้นจริงเป็นน้ำหนักสูงสุดของการแทนค่าที่ลดรูปไม่ได้บางอย่าง^[3]ผลที่ตามมาที่สำคัญของสูตรอักขระคือสูตรมิติไวล์และสูตรความแปรปรวนแบบ Kostant

ตามนิยาม ลักษณะของการแทนค่าGคือร่องรอยของเป็นฟังก์ชันขององค์ประกอบกลุ่มการแทนค่าที่ลดรูปไม่ได้ในกรณีนี้ล้วนมีมิติจำกัด (นี่เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทของปีเตอร์–ไวล์ ) ดังนั้น แนวคิดของร่องรอยจึงเป็นแนวคิดทั่วไปจากพีชคณิตเชิงเส้น ความรู้เกี่ยวกับลักษณะของจะให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับตัวมันเอง ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi (ก)}$${\displaystyle g\ใน G}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

สูตรของ Weyl เป็นสูตรปิดสำหรับอักขระในแง่ของวัตถุอื่น ๆ ที่สร้างขึ้นจากGและพีชคณิต Lie${\displaystyle \chi}$

สูตรอักขระสามารถแสดงได้ในรูปของการแสดงแทนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายที่ซับซ้อน หรือในรูปของทฤษฎีการแสดงแทน (ซึ่งเทียบเท่ากันโดยพื้นฐาน) ของกลุ่ม ลี แบบกะทัดรัด

ให้เป็นตัวแทนมิติจำกัดที่ย่อไม่ได้ของพีชคณิตลีแบบกึ่ง ง่ายเชิงซ้อน สมมติว่าเป็นพีชคณิตย่อยของ คาร์ตัน ลักษณะของจะเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \ชื่อผู้ประกอบการ {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \ชื่อผู้ประกอบการ {ch} _{\pi }(H)=\ชื่อผู้ประกอบการ {tr} (e^{\pi (H)}).}$

ค่าของตัวละครคือมิติของโดยพิจารณาเบื้องต้น ตัวละครอาจคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle H=0}$${\displaystyle \pi}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}$-

โดยที่ผลรวมจะอยู่ในช่วงน้ำหนัก ทั้งหมด ของและโดยที่คือความหลากหลายของ(บางครั้งนิพจน์ก่อนหน้านั้นอาจใช้เป็นคำจำกัดความของอักขระ)${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle m_{\mu }}$${\displaystyle \mu}$

สูตรอักขระระบุ^[4]ซึ่งอาจคำนวณได้เป็น${\displaystyle \ชื่อผู้ประกอบการ {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle ว}$คือกลุ่ม Weyl ;
• ${\displaystyle \เดลต้า ^{+}}$คือเซตของรากบวกของระบบราก ;${\displaystyle \เดลต้า}$
• ${\displaystyle \โร}$คือผลรวมครึ่งหนึ่งของรากบวก มักเรียกว่าเวกเตอร์ไวล์
• ${\displaystyle \แลมบ์ดา}$เป็นน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนค่าที่ลดไม่ได้${\displaystyle วี}$
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$เป็นตัวกำหนดการกระทำของบนพีชคณิตย่อยของคาร์ตันซึ่งเท่ากับโดยที่คือความยาวขององค์ประกอบกลุ่มไวล์ซึ่งกำหนดให้เป็นจำนวนการสะท้อนที่น้อยที่สุดเมื่อเทียบกับรากที่เรียบง่าย โดยที่เท่ากับผลคูณของการสะท้อนเหล่านั้น${\displaystyle ว}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$${\displaystyle \ell (ว)}$${\displaystyle ว}$

โดยใช้สูตรตัวส่วนของ Weyl (อธิบายไว้ด้านล่าง) สูตรอักขระสามารถเขียนใหม่เป็น

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)} }{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$-

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w \in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

อักขระเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังจำนวนมาก ในนิพจน์สุดท้ายนี้ เราจะคูณอักขระด้วยผลรวมของเลขชี้กำลังแบบสลับกัน ซึ่งดูเหมือนว่าจะส่งผลให้ผลรวมของเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นอีก ส่วนที่น่าประหลาดใจของสูตรอักขระก็คือ เมื่อเราคำนวณผลคูณนี้ จะมีพจน์จำนวนเพียงเล็กน้อยเท่านั้นที่เหลืออยู่ พจน์มากกว่านี้จำนวนมากเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในผลคูณของอักขระและตัวส่วนของ Weyl แต่พจน์เหล่านี้ส่วนใหญ่จะหักล้างกันจนเป็นศูนย์^[5]พจน์เดียวที่ยังคงอยู่คือพจน์ที่เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว นั่นคือ(ซึ่งได้มาจากการนำน้ำหนักสูงสุดจากและน้ำหนักสูงสุดจากตัวส่วนของ Weyl) และสิ่งต่างๆ ในวงโคจรของกลุ่ม Weyl ของ${\displaystyle อี^{(\lambda +\rho )(H)}}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {ch} _{\pi }}$${\displaystyle อี^{(\lambda +\rho )(H)}}$

ให้เป็นกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันอย่างกะทัดรัด และให้เป็นทอรัสสูงสุดในให้เป็นตัวแทนที่ลดรูปไม่ได้ของจากนั้นเราจะกำหนดลักษณะของให้เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle เค}$${\displaystyle ที}$${\displaystyle เค}$${\displaystyle \พาย}$${\displaystyle เค}$${\displaystyle \พาย}$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

อักขระนี้สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเป็นฟังก์ชันคลาสบนและทฤษฎีบทของ Peter–Weylระบุว่าอักขระสร้างพื้นฐานที่ตั้งฉากกันสำหรับพื้นที่ของฟังก์ชันคลาสที่บูรณาการแบบกำลังสองบน[ ^6]${\displaystyle เค}$${\displaystyle เค}$

เนื่องจากเป็นฟังก์ชันคลาส จึงถูกกำหนดโดยข้อจำกัดของคลาสตอนนี้ในพีชคณิตลีของเราได้${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle ที}$${\displaystyle เอช}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle ที}$

${\displaystyle \ชื่อผู้ประกอบการ {ร่องรอย} (\Pi (e^{H}))=\ชื่อผู้ประกอบการ {ร่องรอย} (e^{\pi (H)})}$-

โดยที่เป็นการแสดงแทนที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตลีของดังนั้น ฟังก์ชันนี้เป็นเพียงลักษณะของการแสดงแทนที่เกี่ยวข้องกับตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อย่อยก่อนหน้า ข้อจำกัดของลักษณะของto จะได้รับจากสูตรเดียวกันกับกรณีพีชคณิตลี:${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle เค}$${\displaystyle H\mapsto \ชื่อผู้ดำเนินการ {ร่องรอย} (\Pi (e^{H}))}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle \พาย}$${\displaystyle ที}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}} {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

การพิสูจน์ สูตรอักขระ ของ Weyl ในการตั้งค่ากลุ่มกะทัดรัดนั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากการพิสูจน์พีชคณิตของสูตรอักขระในการตั้งค่าพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย^[7]ในการตั้งค่ากลุ่มกะทัดรัด เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ "รากจริง" และ "น้ำหนักจริง" ซึ่งแตกต่างกันด้วยปัจจัยของรากและน้ำหนักที่ใช้ที่นี่ ดังนั้น สูตรในการตั้งค่ากลุ่มกะทัดรัดจึงมีปัจจัยของในเลขชี้กำลังตลอด${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

ในกรณีของกลุ่ม SU(2) ให้พิจารณา การแทน ค่ามิติที่ลดรูปไม่ได้หากเราใช้กลุ่มย่อยแนวทแยงของ SU(2) สูตรอักขระในกรณีนี้จะอ่านว่า^[8]${\displaystyle m+1}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(ทั้งตัวเศษและตัวส่วนในสูตรอักขระมีสองพจน์) เป็นการดีที่จะตรวจสอบสูตรนี้โดยตรงในกรณีนี้ เพื่อที่เราจะสังเกตปรากฏการณ์การยกเลิกที่แฝงอยู่ในสูตรอักขระ Weyl ได้

เนื่องจากการแสดงเป็นที่ทราบกันอย่างชัดเจน ลักษณะของการแสดงจึงสามารถเขียนลงไปได้ดังนี้

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

ในขณะเดียวกัน ตัวส่วนของ Weyl ก็คือฟังก์ชันการคูณอักขระด้วยตัวส่วนของ Weyl จะได้${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

ตอนนี้เราสามารถตรวจยืนยันได้อย่างง่ายดายว่าเงื่อนไขส่วนใหญ่จะยกเลิกระหว่างสองเงื่อนไขทางด้านขวามือด้านบน ทำให้เราเหลือเพียง

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

เพื่อให้

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

ตัวละครในกรณีนี้คืออนุกรมเรขาคณิตและอาร์กิวเมนต์ก่อนหน้านั้นเป็นตัวแปรขนาดเล็กของอนุพันธ์มาตรฐานของสูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตจำกัด${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

ในกรณีพิเศษของการแสดงภาพแบบมิติเดียวทั่วไป อักขระคือ 1 ดังนั้นสูตรอักขระ Weyl จึงกลายเป็นสูตรตัวส่วนของ Weyl : ^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

สำหรับกลุ่มเอกภาพพิเศษ นี่เทียบเท่ากับนิพจน์

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

สำหรับตัวกำหนด Vandermonde ^[10]

โดยการประเมินตัวละครที่สูตรตัวละครของ Weyl จะได้สูตรมิติของ Weyl${\displaystyle H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

สำหรับมิติของการแสดงมิติจำกัดที่มีน้ำหนักสูงสุด(ตามปกติ ρ คือครึ่งหนึ่งของผลรวมของรากบวกและผลคูณที่วิ่งบนรากบวก α) การทำให้มีความเฉพาะเจาะจงนั้นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยโดยสิ้นเชิง เนื่องจากทั้งตัวเศษและตัวส่วนของสูตรอักขระ Weyl หายไปในลำดับสูงที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ลิมิตของร่องรอยขององค์ประกอบที่มีแนวโน้มไปสู่เอกลักษณ์ โดยใช้กฎของ L'Hôpital รุ่นหนึ่ง[ 11 ^]ในกรณี SU(2) ที่อธิบายไว้ข้างต้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถกู้คืนมิติของการแสดงโดยใช้กฎของ L'Hôpital เพื่อประเมินลิมิตที่มีแนวโน้มไปสู่ศูนย์ของ${\displaystyle V_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

เราอาจพิจารณาพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิลเชิงซ้อน sl(3, C ) เป็นตัวอย่างหรือกล่าวได้อีกอย่างว่ากลุ่มกะทัดรัด SU(3) ในกรณีนั้นการแสดงแทนจะถูกกำหนดด้วยคู่ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ในกรณีนี้ มีรากที่เป็นบวกสามตัว และไม่ยากเลยที่จะตรวจสอบว่าสูตรมิติใช้รูปแบบที่ชัดเจนหรือไม่^[12]${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

กรณีนี้เป็นการแสดงมาตรฐานและสูตรมิติให้ค่า 3 ในกรณีนี้${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

สูตรอักขระ Weyl จะให้ลักษณะของการแสดงแต่ละแบบเป็นผลหาร โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนแต่ละตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของเลขชี้กำลัง แม้ว่าสูตรนี้จะกำหนดลักษณะโดยหลักการแล้ว แต่ก็ไม่ชัดเจนนักว่าเราสามารถคำนวณผลหารนี้โดยชัดแจ้งเป็นผลรวมจำกัดของเลขชี้กำลังได้อย่างไร ในกรณี SU(2) ที่อธิบายไว้ข้างต้น ไม่ชัดเจนในทันทีว่าจะเปลี่ยนจากสูตรอักขระ Weyl ที่ให้อักขระกลับไปสู่สูตรสำหรับอักขระเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังได้อย่างไร:${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

ในกรณีนี้ อาจไม่ใช่เรื่องยากเกินไปที่จะจดจำนิพจน์ที่เป็นผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตจำกัด แต่โดยทั่วไปแล้ว เราจำเป็นต้องมีขั้นตอนที่เป็นระบบมากกว่านี้${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

โดยทั่วไป กระบวนการหารสามารถทำได้โดยคำนวณส่วนกลับอย่างเป็นทางการของตัวส่วนของ Weyl จากนั้นคูณตัวเศษในสูตรอักขระ Weyl ด้วยส่วนกลับอย่างเป็นทางการนี้^[13]ผลลัพธ์จะให้อักขระเป็นผลรวมจำกัดของเลขชี้กำลัง ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายนี้คือมิติของพื้นที่น้ำหนัก นั่นคือ ความหลากหลายของน้ำหนัก ดังนั้น เราจึงได้สูตรสำหรับความหลากหลายของน้ำหนักจากสูตรอักขระ Weyl ซึ่งเรียกว่าสูตรความหลากหลายของ Kostantสูตรทางเลือกซึ่งคำนวณได้ง่ายกว่าในบางกรณีจะแสดงอยู่ในหัวข้อถัดไป

สูตรของฮันส์ ฟรอยเดนธัล เป็นสูตรแบบเรียกซ้ำสำหรับความซ้ำซ้อนของน้ำหนักซึ่งให้คำตอบเดียวกับสูตรความซ้ำซ้อนของโคสแตนต์ แต่บางครั้งอาจใช้ได้ง่ายกว่าสำหรับการคำนวณเนื่องจากมีพจน์ที่ต้องรวมน้อยกว่ามาก สูตรนี้ใช้ องค์ประกอบคาซิเมียร์ เป็นพื้นฐาน และอนุพันธ์ขององค์ประกอบนี้จะไม่ขึ้นอยู่กับสูตรอักขระ ระบุไว้ว่า^[14]

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

ที่ไหน

• Λ คือน้ำหนักสูงสุด
• λ คือน้ำหนักอีกส่วนหนึ่ง
• m _Λ (λ) คือความหลากหลายของน้ำหนัก λ ในการแสดงแทนค่า V _{Λ ที่ลดรูปไม่ได้}
• ρ คือเวกเตอร์ Weyl
• ผลรวมแรกจะอยู่เหนือรากที่เป็นบวกทั้งหมด α

สูตรอักขระ Weyl ยังใช้ได้กับการแสดงค่าน้ำหนักสูงสุด ที่บูรณาการได้ ของพีชคณิต Kac–Moodyเมื่อเรียกว่าสูตรอักขระ Weyl–Kacในทำนองเดียวกัน มีเอกลักษณ์ของตัวส่วนสำหรับพีชคณิต Kac–Moody ซึ่งในกรณีของพีชคณิต Lie แบบแอฟฟีนจะเทียบเท่ากับเอกลักษณ์ของ Macdonaldในกรณีที่ง่ายที่สุดของพีชคณิต Lie แบบแอฟฟีนของประเภท_A1 นี่คือเอกลักษณ์ ผลคูณสามของจาโคบี

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

สูตรอักขระสามารถขยายไปสู่การแสดงน้ำหนักสูงสุดที่บูรณาการได้ของพีชคณิต Kac–Moody ทั่วไปเมื่ออักขระถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

ที่นี่Sเป็นเทอมแก้ไขที่กำหนดในรูปของรากเชิงจินตภาพธรรมดาโดย

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

โดยที่ผลรวมนั้นวิ่งผ่านเซตย่อยจำกัดI ทั้งหมดของรากเชิงเดี่ยวในจินตนาการซึ่งตั้ง ฉาก กันเป็นคู่และตั้งฉากกับน้ำหนัก λ ที่สูงที่สุด และ |I| คือจำนวนของ I และ Σ Iคือผลรวมขององค์ประกอบของI

สูตรตัวส่วนของพีชคณิตลีมอน สเตอร์ คือสูตรผลคูณ

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

สำหรับฟังก์ชั่นโมดูลาร์ วงรี j

ปีเตอร์สันได้ให้สูตรการเรียกซ้ำสำหรับผลคูณ mult(β) ของราก β ของพีชคณิต Kac–Moody ที่สามารถสมมาตรได้ (โดยทั่วไป) ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรตัวส่วนของ Weyl–Kac แต่ใช้ได้ง่ายกว่าสำหรับการคำนวณ:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

โดยที่ผลรวมจะอยู่เหนือรากบวก γ, δ และ

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Harish-Chandra แสดงให้เห็นว่าสูตรอักขระของ Weyl ยอมรับการสรุปทั่วไปของการแสดงของกลุ่มลดรูป จริง สมมติว่าเป็นการแสดงที่ลดรูปจริง G ที่มีลักษณะ อนันต์ ที่ไม่สามารถลดรูปได้ ให้เป็นอักขระ Harish-Chandraของซึ่งกำหนดโดยการอินทิเกรตกับฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตปกติ หาก H เป็นกลุ่มย่อยของ Cartanของ G และ H' เป็นเซตของสมาชิกปกติใน H แล้ว${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Theta _{\pi }}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

ที่นี่

• W คือกลุ่ม Weyl เชิงซ้อนของ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$เป็นสารคงตัวของใน W${\displaystyle \lambda }$

และบันทึกที่เหลือก็เหมือนข้างต้น

ค่าสัมประสิทธิ์ยังคงไม่เข้าใจดีนัก ผลลัพธ์เกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้อาจพบได้ในเอกสารของHerb , Adams, Schmid และ Schmid-Vilonen เป็นต้น${\displaystyle a_{w}}$

• ทฤษฎีตัวละคร
• อักขระพีชคณิต
• สูตรตัวละครเดอเมซัวร์
• สูตรอินทิเกรตไวล์
• สูตรคาแรกเตอร์คิริลอฟ

• ฟุลตัน, วิลเลียม และแฮร์ริส, โจ (1991). ทฤษฎีการแทนค่า: หลักสูตรแรกนิวยอร์ก: Springer-Verlag ISBN  0387974954 . OCLC 22861245 ^[1]
• ฮอลล์, ไบรอัน ซี. (2015), กลุ่มลี, พีชคณิตลี และการแสดง: บทนำเบื้องต้น , ตำราบัณฑิตในคณิตศาสตร์, เล่ม 222 (พิมพ์ครั้งที่ 2), สปริงเกอร์, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7-
• พีชคณิตลีมิติอนันต์ , VG Kac, ISBN 0-521-37215-1 
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "สูตรอักขระ Weyl–Kac", สารานุกรมคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์ EMS
• ไวล์ แฮร์มันน์ (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271–309, doi :10.1007/BF01506234, ISSN  0025-5874, ไอดี  123145812
• ไวล์ แฮร์มันน์ (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift , 24 , สปริงเกอร์ เบอร์ลิน / ไฮเดลเบิร์ก: 328–376, doi :10.1007/BF01216788, ISSN  0025-5874, รหัส ประจำตัวประชาชน  186229448
• ไวล์ แฮร์มันน์ (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift , 24 , สปริงเกอร์ เบอร์ลิน / ไฮเดลเบิร์ก: 377–395, doi :10.1007/BF01216789, ISSN  0025-5874, รหัสประจำ ตัวประชาชน  186232780