Բիո-Սավար-Լապլասի օրենք

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը (նաև Բիո-Սավար-ի օրենքը ) ֆիզիկական օրենք է՝ հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Ըստ այդ օրենքի, տվյալ կետում ($M$) հոսանքակիր հաղորդչի $\Delta l$ հատվածի առաջացրած մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ $\Delta H=k{\frac {I\Delta lsin\theta }{r^{2}}}$ հատվածով $I$ անցնող հոսանքի ուժն է ($\Delta l$–ի համար որպես ուղղություն ընտրվում է հոսանքի ուղղությունը), $\theta$-ն՝ $\Delta l$–ի և $r$ շառավիղ–վեկտորի կազմած անկյունը ($\Delta l$<<$r$), $k$-ն՝ միավորների համակարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակիցը։ $\Delta H$ վեկտորն ուղղահայաց է $\Delta l$–ով և $r$-ով տարած $P$ հարթությանը, իսկ նրա ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։ Հոսանքակիր հաղորդչի ստեղծած մագնիսական դաշտի արդյունարար լարվածությունը $(H)M$ կետում հավասար է հաղորդչի բոլոր $\Delta l$ տարրերով պայմանավորված $\Delta H$ մեծությունների վեկտորական գումարին։ Մասնավորապես, $d$ հեռավորության վրա ուղիղ հոսանքակիր հաղորդչի մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ $H=k2I/d,$ $R$ շառավղով շրջանային կոնտուրի կենտրոնում՝ $H=k\cdot 2\pi I/k$, կոնտուրի առանցքով կենտրոնից $d(d>>R)$ հեռավորության վրա՝ $H=k\cdot 2\pi R^{2}I/d^{3}$, իսկ $n$ գալարանի սոլենոիդի առանցքի վրա՝ $H=k\cdot 4\pi nI$։ Բիո-Սավարի օրենքն արտահայտող բանաձևով կարելի է հաշվել նաև $\Delta B$ մագնիսական ինդուկցիան։

CGS համակարգի միավորներով հաշվելիս $\Delta H$-ը պետք է բազմապատկել $\mu$ մագնիսական թափանցելիությամբ, իսկ SI համակարգի միավորներով հաշվելիս, $\mu$–ից բացի՝ նաև վակուումի $\mu _{0}$ մագնիսական թափանցելիությամբ ($\mu _{0}=4\pi 10^{-7}$ հն/մ)։

Կոնտուրով հոսող հոսանքի համար

Դիցուք, $I$ անընդհատ հոսանքը հոսում է $\gamma$ կոնտուրով, որը գտնվում է վակուումում։ Եթե $\mathbf {r} _{0}$ կետն է, որի նկատմամբ դիտարկվում է դաշտը, ապա մագնիսական դաշտի ինդուկցիան այդ կետում արտահայտվում է ինտեգրալով`

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o}}} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},$

Իսկ եթե որպես հաշվարկման կետ վերցնենք այն կետը, որտեղ պետք է գտնենք մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը,ապա բանաձևը հեշտանում է`

$d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}={\frac {I}{10^{7}}}{\frac {[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}},$

$d\mathbf {B}$ - ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, ուր գտնվում են $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ և $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել աջ պտուտակի կանոնով։ Միավորների միջազգային համակարգում $d\mathbf {B}$-ի վեկտորի մոդուլը որոշվում է`

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}}.$

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Բաշխված հոսանքների համար

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուր հանդիսանում են բաշխվող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են վեկտորական դաշտի խտության հոսանքով` $j$, Բիո Սավարի օրենքը Միավորների միջազգային համակարգում կընդունի հետևյալ տեսքը`

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},$ ,

որտեղ j = j(r), dV - ծավալի տարրն է, իսկ ինտեգրումը տարածվում է ամբողջ միջակայքում, որտեղ j≠0.

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 442)։

Շղթայի երկայնքով հոսանքի համար (բարակ հաղորդիչով)

Թող հաստատուն $I$ հոսանքն անցնի $\gamma$ կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում, $\mathbf {r} _{0}$ - կետն է, որտեղ որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o}}} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},$

որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը, $r$ - $\gamma$ կոնտուրի կետերի դիրքն է , $dr$ - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով); $\mu _{0}$ - մագնիսական հաստատունը ; $\mathbf {e_{r,r_{o}}}$ միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

• Սկզբունքորեն $\gamma$ կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
• Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում), $I$ հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

$d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}$

Որտեղ ${\vec {r}}$ - $I$ հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է , $r$ - ${\vec {r}}$-ի մոդուլը, $d{\vec {B}}$ - հաղորդչի $d{\vec {r}}$ տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը։

$d\mathbf {B}$-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ և $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս $d\mathbf {B}$-ի ուղղությունը, եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ $d\mathbf {B}$-ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

$dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},$

Որտեղ $\alpha$ $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$) և հաղորդչի $d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r}$ տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {\mathbf {I} (\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Բաշխվող հոսանքների համար

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության j վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը (SI- ում ).

$\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},$

որտեղ j = j ( r ), d V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ j ≠ 0 ), r - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին (d V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.$

Հետևանքները

Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

$\oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$

- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I=\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

$\mathrm {div} \mathbf {B} =0,$

$\mathrm {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,$

որտեղ j հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում$\mu _{0}$ հաստատունի փոխարեն գրվում է ${\frac {4\pi }{c}}.$ )

Ստացումը Մաքսվելի հավասարումներից

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

$\operatorname {rot} \,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} ,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {B} =0,$

$\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {E} =4\pi \rho ,$

Որտեղ $\mathbf {j}$ - տարածության մեջ հոսանքի խտությունն է։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը (CGS համակարգում).

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} .$

Հավասարումների անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

$\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0.$

Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

$\Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} .$

Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

$\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV.$

Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով (CGS համակարգում)

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV=$

$={\frac {1}{c}}\int \limits _{\gamma }{\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV$

ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

$\mathbf {j} dV=I\mathbf {dl}$

մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

Կիրառությունները

Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը շատ բարակ $N$ փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ) կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է $I$ հոսանքը։ Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {l}}\times {\vec {r}}]}{r^{3}}}$

մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

$dB={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},$

Որտեղ $r$ - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում՝ հաստատուն), $\alpha$ -ն ${\vec {r}}$ (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և $d{\vec {l}}$ (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է $90^{\circ }$։

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

$B={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I}{r^{2}}}\int dl,$

Որտեղ $\int dl=2\pi r$ - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում՝ շրջագիծը, ապա

$B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r}}.$

Քանի որ պարույրը պարունակում է $N$ փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

$B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r}}.$

Գրականություն

• The law of Biot and Savart - The Feynman Lectures on Physics