Մասնակից:Nagolil/Ավազարկղ

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

https://en.wikipedia.org/wiki/Christoph_Grienberger

https://en.wikipedia.org/wiki/Schl%C3%A4fli_symbol

Լիլո նայի

նյութը

Բարելավելու ենթակա

Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного. Количество рёбер исходного и двойственного многогранника одинаково. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.

In geometry, any polyhedron is associated with a second dual figure, where the vertices of one correspond to the faces of the other and the edges between pairs of vertices of one correspond to the edges between pairs of faces of the other.^[1] Such dual figures remain combinatorial or abstract polyhedra, but not all are also geometric polyhedra.^[2] Starting with any given polyhedron, the dual of its dual is the original polyhedron.

Duality preserves the symmetries of a polyhedron. Therefore, for many classes of polyhedra defined by their symmetries, the duals also belong to a symmetric class. Thus, the regular polyhedra – the (convex) Platonic solids and (star) Kepler–Poinsot polyhedra – form dual pairs, where the regular tetrahedron is self-dual. The dual of an isogonal polyhedron, having equivalent vertices, is one which is isohedral, having equivalent faces. The dual of an isotoxal polyhedron (having equivalent edges) is also isotoxal.

Duality is closely related to reciprocity or polarity, a geometric transformation that, when applied to a convex polyhedron, realizes the dual polyhedron as another convex polyhedron.

В геометрии любой многогранник связан со второй двойной фигурой, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками, но не все они также являются геометрическими многогранниками. [2] Начиная с любого заданного многогранника, двойственный его двойственный является исходным многогранником.

Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, дуалы также принадлежат к симметрическому классу. Таким образом, правильные многогранники - (выпуклые) твердые тела Платона и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо - образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр самодуален. Двойственный изогональный многогранник, имеющий эквивалентные вершины, является изоэдральным, имеющим эквивалентные грани. Двойственный изотоксальный многогранник (имеющий эквивалентные ребра) также изотоксален.

Двойственность тесно связана с взаимностью или полярностью, геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойной многогранник как другой выпуклый многогранник.

Kinds of duality

There are many kinds of duality. The kinds most relevant to elementary polyhedra are polar reciprocity and topological or abstract duality.

Виды двойственности

Есть много видов дуальности. Наиболее важными для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Двойственное тело Платона может быть построено путем соединения граней. В общем случае это создает только топологический дуал.

Изображения из гармоник Кеплера Mundi (1619)

Polar reciprocation

The duality of polyhedra is often defined in terms of polar reciprocation about a concentric sphere. Here, each vertex (pole) is associated with a face plane (polar plane or just polar) so that the ray from the center to the vertex is perpendicular to the plane, and the product of the distances from the center to each is equal to the square of the radius.^[3] In coordinates, for reciprocation about the sphere

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

the vertex

(x_{0},y_{0},z_{0})

is associated with the plane

x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}

.

The vertices of the dual are the poles reciprocal to the face planes of the original, and the faces of the dual lie in the polars reciprocal to the vertices of the original. Also, any two adjacent vertices define an edge, and these will reciprocate to two adjacent faces which intersect to define an edge of the dual. This dual pair of edges are always orthogonal (at right angles) to each other.

If $r_{0}$ is the radius of the sphere, and $r_{1}$ and $r_{2}$ respectively the distances from its centre to the pole and its polar, then:

r_{1}.r_{2}=r_{0}^{2}

For the more symmetrical polyhedra having an obvious centroid, it is common to make the polyhedron and sphere concentric, as in the Dorman Luke construction described below.

However, it is possible to reciprocate a polyhedron about any sphere, and the resulting form of the dual will depend on the size and position of the sphere; as the sphere is varied, so too is the dual form. The choice of center for the sphere is sufficient to define the dual up to similarity. If multiple symmetry axes are present, they will necessarily intersect at a single point, and this is usually taken to be the centroid. Failing that, a circumscribed sphere, inscribed sphere, or midsphere (one with all edges as tangents) is commonly used.

If a polyhedron in Euclidean space has an element passing through the center of the sphere, the corresponding element of its dual will go to infinity. Since Euclidean space never reaches infinity, the projective equivalent, called extended Euclidean space, may be formed by adding the required 'plane at infinity'. Some theorists prefer to stick to Euclidean space and say that there is no dual. Meanwhile, Wenninger (1983) found a way to represent these infinite duals, in a manner suitable for making models (of some finite portion!).

The concept of duality here is closely related to the duality in projective geometry, where lines and edges are interchanged. Projective polarity works well enough for convex polyhedra. But for non-convex figures such as star polyhedra, when we seek to rigorously define this form of polyhedral duality in terms of projective polarity, various problems appear.^[4] Because of the definitional issues for geometric duality of non-convex polyhedra, Grünbaum (2007) argues that any proper definition of a non-convex polyhedron should include a notion of a dual polyhedron.

Полярная взаимность

Смотрите также: Полярная взаимность

Двойственность многогранников часто определяется с точки зрения полярного возвратно-поступательного движения вокруг концентрической сферы. Здесь каждая вершина (полюс) связана с лицевой плоскостью (полярная плоскость или просто полярность), так что луч от центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3] В координатах, для взаимного обмена по сфере

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},} x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2 },

вершина

{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})

связан с самолетом

{\ displaystyle x_ {0} x + y_ {0} y + z_ {0} z = r ^ {2}} x_ {0} x + y_ {0} y + z_ {0} z = r ^ {2} ,

Вершины двойственного - это полюсы, обратные плоскостям грани оригинала, а грани двойного лежат в полярах, обратных к вершинам оригинала. Кроме того, любые две смежные вершины определяют ребро, и они будут отвечать взаимно двум смежным граням, которые пересекаются, чтобы определить ребро двойника. Эта двойная пара ребер всегда ортогональны (под прямым углом) друг к другу.

Если {\ displaystyle r_ {0}} r_ {0} - радиус сферы, а {\ displaystyle r_ {1}} r_ {1} и {\ displaystyle r_ {2}} r_ {2} - соответственно расстояния от его центр к полюсу и его полярность, тогда:

{\ displaystyle r_ {1} .r_ {2} = r_ {0} ^ {2}} r_ {1} .r_ {2} = r_ {0} ^ {2}

Для более симметричных многогранников, имеющих очевидный центроид, принято делать многогранник и сферу концентрическими, как в конструкции Дормана Люка, описанной ниже.

Тем не менее, возможно возвратно-поступательное движение многогранника относительно любой сферы, и получающаяся форма двойника будет зависеть от размера и положения сферы; как сфера разнообразна, так и двойственная форма. Выбор центра для сферы достаточен для определения двойственности вплоть до сходства. Если присутствует несколько осей симметрии, они обязательно будут пересекаться в одной точке, и это обычно считается центроидом. В противном случае обычно используется ограниченная сфера, вписанная сфера или средняя сфера (одна со всеми ребрами в качестве касательных).

Если многогранник в евклидовом пространстве имеет элемент, проходящий через центр сферы, то соответствующий его двойственный элемент уйдет в бесконечность. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного нет. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойники способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части!).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии, где линии и ребра взаимозаменяемы. Проективная полярность работает достаточно хорошо для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездные многогранники, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности с точки зрения проективной полярности, возникают различные проблемы. [4] Из-за проблем определения геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойного многогранника.

Canonical duals

Any convex polyhedron can be distorted into a canonical form, in which a unit midsphere (or intersphere) exists tangent to every edge, and such that the average position of the points of tangency is the center of the sphere. This form is unique up to congruences.

If we reciprocate such a canonical polyhedron about its midsphere, the dual polyhedron will share the same edge-tangency points and so must also be canonical. It is the canonical dual, and the two together form a canonical dual pair.^[5]

Канонические дуалы

Любой выпуклый многогранник может быть искажен в каноническую форму, в которой единичная средняя сфера (или межсфера) существует касательной к каждому ребру и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма является уникальной с точки зрения сравнений.

Если мы ответим таким каноническим многогранником относительно его средней сферы, двойной многогранник будет иметь те же точки касания ребер, что также должно быть каноническим. Это канонический дуал, и оба вместе образуют каноническую дуальную пару. [5]

Каноническое двойное соединение: кубоктаэдр (светлый) и ромбический додекаэдр (темный). Пары ребер встречаются на их общей межсферу.

Topological duality

Even when a pair of polyhedra cannot be obtained by reciprocation from each other, they may be called duals of each other as long as the vertices of one correspond to the faces of the other, and the edges of one correspond to the edges of the other, in an incidence-preserving way. Such pairs of polyhedra are still topologically or abstractly dual.

The vertices and edges of a convex polyhedron form a graph (the 1-skeleton of the polyhedron), embedded on a topological sphere, the surface of the polyhedron. The same graph can be projected to form a Schlegel diagram on a flat plane. The graph formed by the edges and vertices of the dual polyhedron is its dual graph. More generally, for any polyhedron whose faces form a closed surface, the vertices and edges of the polyhedron form a graph embedded on this surface, and the vertices and edges of the (abstract) dual polyhedron form the dual graph.

An abstract polyhedron is a certain kind of partially ordered set (poset) of elements, such that adjacencies, or connections, between elements of the set correspond to adjacencies between elements (faces, edges, etc.) of a polyhedron. Every such poset has a dual poset, formed by reversing all of the order relations. If the poset is visualized as a Hasse diagram, the dual poset may be visualized simply by turning the Hasse diagram upside down. Every geometric polyhedron corresponds to an abstract polyhedron in this way, and has an abstract dual polyhedron. However, for some types of non-convex geometric polyhedron, the dual polyhedron may not be realized geometrically.

Топологическая двойственность

Даже когда пара многогранников не может быть получена возвратно-поступательным движением друг от друга, их можно называть двойственными, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. в сохранении заболеваемости. Такие пары многогранников все еще топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф (1-каркас многогранника), вложенный в топологическую сферу, поверхность многогранника. Этот же график можно спроецировать для формирования диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный ребрами и вершинами двойственного многогранника, является его двойственным графом. В более общем случае для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойного многогранника образуют двойственный граф.

Абстрактный многогранник - это определенный вид частично упорядоченного набора (poset) элементов, такой, что смежность или связь между элементами набора соответствуют смежности между элементами (гранями, ребрами и т. Д.) Многогранника. Каждый такой набор имеет двойной набор, сформированный путем обращения всех отношений порядка. Если набор визуализируется как диаграмма Хассе, двойной набор можно визуализировать, просто перевернув схему Хассе вверх дном. Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойной многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойной многогранник не может быть реализован геометрически.

Построение[править | править код]

Простейший способ построения двойственного многогранника таков:

Вершины: находятся в центре граней исходного многогранника.
Рёбра: между вершинами проводится ребро, если соответствующие грани имеют общее ребро.

Многогранник	Двойственный
Тетраэдр	Тетраэдр
Октаэдр	Куб
Икосаэдр	Додекаэдр
Кубооктаэдр	Ромбододекаэдр
Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Построение Дормана Люка[править | править код]

Для однородных многогранников^[en] грань двойственного многогранника может быть найдена из вершинной фигурыисходного многогранника с помощью построения Дормана Люка. Это построение первоначально было описано Канди и Роллеттом (Cundy, Rollett, 1961) и позднее было обобщено Веннинджером (Wenninger, 1983).

В качестве примера, возьмём вершинную фигуру (красная) кубооктаэдра, которая используется для получения грани (голубая) ромбододекаэдра.

Dorman Luke construction

For a uniform polyhedron, the face of the dual polyhedron may be found from the original polyhedron's vertex figure using the Dorman Luke construction.^[6]

As an example, the illustration below shows the vertex figure (red) of the cuboctahedron being used to derive a face (blue) of the rhombic dodecahedron.

Строительство Dorman Luke

Для однородного многогранника грань двойного многогранника может быть найдена из исходной фигуры вершины многогранника с использованием конструкции Дормана Люка.

В качестве примера на рисунке ниже показана фигура вершины (красный) кубоктаэдра, используемая для получения грани (синего цвета) ромбического додекаэдра.

Перед началом построения получаем вершинную фигуру ABCD путём рассечения каждого прилежащено ребра в середине.

Построение Дормана Люка происходит следующим образом:

Рисуем вершинную фигуру ABCD
Рисуем описанную окружность (проходящую через каждый угол A, B, C и D).
Рисуем касательные к описанной окружности в углах A, B, C, D.
Отмечаем точки пересечения касательных для смежных точек E, F, G, H.
Многоугольник EFGH является гранью двойственного многогранника.

В этом примере размер вершинной фигуры выбран таким образом, что её описанная окружность лежит на полувписанной сфере^[en] (сфере, касающейся всех рёбер) кубооктаэдра, которая также становится полувписанной сферой двойственного ему ромбододекаэдра.

Конструкция Дормана Люка может быть использована только когда многогранник имеет такую полувписанную сферу и вершинная фигура циклична, т.е. для однородных многогранников^[en].

Before beginning the construction, the vertex figure ABCD is obtained by cutting each connected edge at (in this case) its midpoint.

Dorman Luke's construction then proceeds:

Draw the vertex figure ABCD
Draw the circumcircle (tangent to every corner A, B, C and D).
Draw lines tangent to the circumcircle at each corner A, B, C, D.
Mark the points E, F, G, H, where each tangent line meets the adjacent tangent.
The polygon EFGH is a face of the dual polyhedron.

In this example the size of the vertex figure was chosen so that its circumcircle lies on the intersphere of the cuboctahedron, which also becomes the intersphere of the dual rhombic dodecahedron.

Dorman Luke's construction can only be used where a polyhedron has such an intersphere and the vertex figure is cyclic. For instance, it can be applied to the uniform polyhedra.

Перед началом построения вершина фигуры ABCD получается путем разрезания каждого соединенного ребра в (в данном случае) его средней точке.

Строительство Дормана Люка затем продолжается:

Нарисуйте фигуру вершины ABCD

Нарисуйте окружность (касательная к каждому углу A, B, C и D).

Нарисуйте линии, касательные к окружности в каждом углу A, B, C, D.

Отметьте точки E, F, G, H, где каждая касательная линия встречает смежную касательную.

Многоугольник EFGH является гранью двойного многогранника.

В этом примере размер фигуры вершины был выбран так, чтобы ее окружность лежала на внутренней сфере кубоктаэдра, который также становится внутренней сферой двойного ромбического додекаэдра.

Конструкцию Дормана Люка можно использовать только тогда, когда многогранник имеет такую межсферу, а фигура вершины циклична. Например, это может быть применено к однородным многогранникам.

Self-dual polyhedra

Topologically, a self-dual polyhedron is one whose dual has exactly the same connectivity between vertices, edges and faces. Abstractly, they have the same Hasse diagram.

A geometrically self-dual polyhedron is not only topologically self-dual, but its polar reciprocal about a certain point, typically its centroid, is a similar figure. For example, the dual of a regular tetrahedron is another regular tetrahedron, reflected through the origin.

Every polygon is topologically self-dual (it has the same number of vertices as edges, and these are switched by duality), but will not in general be geometrically self-dual (up to rigid motion, for instance). Every polygon has a regular form which is geometrically self-dual about its intersphere: all angles are congruent, as are all edges, so under duality these congruences swap.

Similarly, every topologically self-dual convex polyhedron can be realized by an equivalent geometrically self-dual polyhedron, its canonical polyhedron, reciprocal about the center of the midsphere.

There are infinitely many geometrically self-dual polyhedra. The simplest infinite family are the canonical pyramids of n sides. Another infinite family, elongated pyramids, consists of polyhedra that can be roughly described as a pyramid sitting on top of a prism (with the same number of sides). Adding a frustum (pyramid with the top cut off) below the prism generates another infinite family, and so on.

There are many other convex, self-dual polyhedra. For example, there are 6 different ones with 7 vertices, and 16 with 8 vertices.^[7]

A self-dual^{[պարզաբանել]} non-convex icosahedron with hexagonal faces was identified by Brückner in 1900.^[8]^[9]^[10] Other non-convex self-dual polyhedra have been found, under certain definitions of non-convex polyhedra and their duals.^{[պարզաբանել]}

Самодвойственные многогранники

Топологически самодвойственный многогранник - это тот, у которого дуал имеет точно такую же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно, они имеют одну и ту же диаграмму Хассе.

Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодуален, но и его полярная обратная величина относительно определенной точки, обычно его центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, дуал правильного тетраэдра - это еще один правильный тетраэдр, отраженный через начало координат.

Каждый многоугольник топологически самодуален (он имеет то же количество вершин, что и ребра, и они переключаются двойственностью), но в целом не будет геометрически самодвойственным (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет правильную форму, которая геометрически самодуальна относительно своей внутренней сферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнции меняются местами.

Точно так же каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником, взаимным по отношению к центру средней сферы.

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшим бесконечным семейством являются канонические пирамиды n сторон. Другое бесконечное семейство, вытянутые пирамиды, состоит из многогранников, которые можно грубо описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы (с таким же числом сторон). Добавление усеченного конуса (пирамиды с обрезанной верхней частью) ниже призмы создает еще одно бесконечное семейство и так далее.

Есть много других выпуклых, самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. [7]

Самодвойственный [требующий уточнения] невыпуклый икосаэдр с гексагональными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. [8] [9] [10] Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственностей.

Самодвойственные многогранники[править | править код]

Топологически, самодвойственные многогранники — это те многогранники, двойственные которым имеют в точности ту же связь между вершинами, рёбрами и гранями. В абстрактном понимании, это многогранники с идентичными диаграммами Хассе.

Геометрически самодвойственный многогранник является не только топологически самодвойственным, полярное преобразование многогранника относительно некоторой точки, обычно, его центроида, является конгруэнтнойфигурой. Например, двойственный многогранник правильного тетраэдра является другим правильным тетраэдром, (центрально симметричным относительно центра тетраэдра).

Любой многоугольник топологически самодвойственен (он имеет то же количество вершин и рёбер, и они меняются местами в результате двойственности), но, в общем случае, не являются геометрически самодвойственными (если рассматривать его как жёсткое тело). Правильные многоугольники геометрически самодвойственны — все углы равны, как и рёбра.

Наиболее принятое геометрическое представление выпуклого многогранника — представление в канонической форме, когда все его рёбра должны касаться некой сферы, центр которой совпадает с центром тяжести точек касания. Если такая фигура самодвойственна, полярное преобразование конгруэнтно ей.

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды с n сторонами в канонической форме. Другое бесконечное семейство, удлинённые пирамиды^[en], состоит из многогранников, которые можно представить как пирамиды, сидящие на вершинах призм (с тем же числом сторон). Добавьте усечённую пирамиду снизу призмы, и вы получите ещё одно бесконечное семейство.

Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, существует 6 различных многогранников с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами^[1]

Можно найти также невыпуклые самодвойственные многогранники, такие как выемчатый додекаэдр^[en]

Family of pyramids
3	4	5	6

Family of elongated pyramids
3	4	5

Family of diminished trapezohedra
3	4	5	6	7

Self-dual compound polyhedra

Trivially, the compound of any polyhedron and its dual is a self-dual figure.

If a polyhedron is self-dual, then the compound of the polyhedron with its dual will comprise congruent polyhedra. The regular compound of two tetrahedra, known as the Stella octangula, is the only regular compound with this property.

Самодвойственные составные многогранники

Тривиально, соединение любого многогранника и его двойственности является самодвойственной фигурой.

Если многогранник является самодвойственным, то соединение многогранника с его двойственным будет содержать конгруэнтные многогранники. Регулярное соединение двух тетраэдров, известное как восьмигранник Стеллы, является единственным регулярным соединением с этим свойством.

Dual polytopes and tessellations

Duality can be generalized to n-dimensional space and dual polytopes; in two dimension these are called dual polygons.

The vertices of one polytope correspond to the (n − 1)-dimensional elements, or facets, of the other, and the j points that define a (j − 1)-dimensional element will correspond to j hyperplanes that intersect to give a (n − j)-dimensional element. The dual of an n-dimensional tessellation or honeycomb can be defined similarly.

In general, the facets of a polytope's dual will be the topological duals of the polytope's vertex figures. For the polar reciprocals of the regular and uniform polytopes, the dual facets will be polar reciprocals of the original's vertex figure. For example, in four dimensions, the vertex figure of the 600-cell is the icosahedron; the dual of the 600-cell is the 120-cell, whose facets are dodecahedra, which are the dual of the icosahedron.

Двойные многогранники и тесселяции

Двойственность можно обобщить на n-мерное пространство и двойственные многогранники; в двух измерениях они называются двойными полигонами.

Вершины одного многогранника соответствуют (n - 1) -мерным элементам или граням другого, а точки j, которые определяют (j - 1) -мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостам, которые пересекаются, чтобы дать ( n - j) -мерный элемент. Двойственный n-мерный тесселяции или соты могут быть определены аналогично.

В общем, грани дуала многогранника будут топологическими дуалами фигур вершин многогранника. Для полярных обратных элементов правильных и однородных многогранников двойственные грани будут полярными обратными значениями вершинной фигуры оригинала. Например, в четырех измерениях вершина фигуры из 600 ячеек - это икосаэдр; двойственный элемент из 600 клеток - это 120-элементный, гранями которого являются додекаэдры, которые являются двойственным элементом икосаэдра.

Self-dual polytopes and tessellations

The primary class of self-dual polytopes are regular polytopes with palindromic Schläfli symbols. All regular polygons, {a} are self-dual, polyhedra of the form {a,a}, 4-polytopes of the form {a,b,a}, 5-polytopes of the form {a,b,b,a}, etc.

The self-dual regular polytopes are:

All regular polygons, {a}.
Regular tetrahedron: {3,3}
In general, all regular n-simplexes, {3,3,...,3}
The regular 24-cell in 4 dimensions, {3,4,3}.
The great 120-cell {5,5/2,5} and the grand stellated 120-cell {5/2,5,5/2}

The self-dual (infinite) regular Euclidean honeycombs are:

Apeirogon: {∞}
Square tiling: {4,4}
Cubic honeycomb: {4,3,4}
In general, all regular n-dimensional Euclidean hypercubic honeycombs: {4,3,...,3,4}.

The self-dual (infinite) regular hyperbolic honeycombs are:

Compact hyperbolic tilings: {5,5}, {6,6}, ... {p,p}.
Paracompact hyperbolic tiling: {∞,∞}
Compact hyperbolic honeycombs: {3,5,3}, {5,3,5}, and {5,3,3,5}
Paracompact hyperbolic honeycombs: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}, and {3,3,4,3,3}

Самодвойственные многогранники и тесселяции

Квадратный мозаичный фрагмент {4,4} является самодвойственным, как показывают эти красные и синие мозаичные элементы

Апейрогональная мозаика бесконечного порядка, {∞, ∞} красным цветом, и ее двойственное положение синим цветом

Основным классом самодуальных многогранников являются правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли. Все правильные многоугольники {a} являются самодуальными, многогранниками вида {a, a}, 4-многогранниками вида {a, b, a}, 5-многогранниками вида {a, b, b, a }, так далее.

Самодуальные правильные многогранники:

Все правильные многоугольники, {a}.

Обычный тетраэдр: {3,3}

В общем, все правильные n-симплексы, {3,3, ..., 3}

Обычный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.

Великолепный 120-элементный {5,5 / 2,5} и гранд звездчатый {5 / 2,5,5 / 2}

Самодвойственные (бесконечные) регулярные евклидовы соты:

Апейрогон: {∞}

Квадратная черепица: {4,4}

Кубическая сота: {4,3,4}

В общем, все правильные n-мерные евклидовы гиперкубические соты: {4,3, ..., 3,4}.

Самодвойственные (бесконечные) регулярные гиперболические соты:

Компактные гиперболические элементы: {5,5}, {6,6}, ... {p, p}.

Паракомпактный гиперболический тайлинг: {∞, ∞}

Компактные гиперболические соты: {3,5,3}, {5,3,5} и {5,3,3,5}

Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4} и {3,3,4,3,3}

References

Notes

↑ Wenninger (1983), "Basic notions about stellation and duality", p. 1.
↑ Grünbaum (2003)
↑ Cundy & Rollett (1961), 3.2 Duality, pp. 78–79; Wenninger (1983), Pages 3-5. (Note, Wenninger's discussion includes nonconvex polyhedra.)
↑ See for example Grünbaum & Shephard (2013), and Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) also discusses some issues on the way to deriving his infinite duals.
↑ Grünbaum (2007), Theorem 3.1, p. 449.
↑ Cundy & Rollett (1961), p. 117; Wenninger (1983), p. 30.
↑ 3D Java models at Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra, based on paper by Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Fast generation of planar graphs PDF [1]
↑ Anthony M. Cutler and Egon Schulte; "Regular Polyhedra of Index Two", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
↑ N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Vol. A 30, Part 4 July 1974, Fig. 3c and accompanying text.
↑ Brückner, M.; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Leipzig, 1900.

Bibliography

Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), «Duality of polyhedra», International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, doi:10.1080/00207390500064049.
Grünbaum, Branko (2003), «Are your polyhedra the same as my polyhedra?», in Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha (eds.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, vol. 25, Berlin: Springer, էջեր 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
Grünbaum, Branko (2007), «Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs», Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445–463, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037, MR 2287486.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), «Duality of polyhedra», in Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, էջեր 211–216, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226.
Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208.

External links

Կաղապար:Mathworld
Weisstein, Eric W., "Dual tessellation", MathWorld.
Կաղապար:Mathworld

См. также[править | править код]

Полуправильный многогранник
Многогранник

Примечания[править | править код]

↑ Симметрии канонических самодвойственных многогранников — 3D Java модели, основанные на статье Бринкманна и Маккея Fast generation of planar graphs [1]

In geometry, the Schläfli symbol is a notation of the form {p,q,r,...} that defines regular polytopes and tessellations.

The Schläfli symbol is named after the 19th-century Swiss mathematician Ludwig Schläfli^[1]^:143, who generalized Euclidean geometry to more than three dimensions and discovered all their convex regular polytopes (including the six that occur in four dimensions). Կաղապար:Toclimit

Definition

The Schläfli symbol is a recursive description^[1]^:129, starting with {p} for a p-sided regular polygon that is convex. For example, {3} is an equilateral triangle, {4} is a square, {5} a convex regular pentagon and so on.

Regular star polygons are not convex, and their Schläfli symbols {p/q} contain irreducible fractions p/q, where p is the number of vertices. For example, {5/2} is a pentagram.

A regular polyhedron that has q regular p-sided polygon faces around each vertex is represented by {p,q}. For example, the cube has 3 squares around each vertex and is represented by {4,3}.

A regular 4-dimensional polytope, with r {p,q} regular polyhedral cells around each edge is represented by {p,q,r}. For example a tesseract, {4,3,3}, has 3 cubes, {4,3}, around an edge.

In general a regular polytope {p,q,r,...,y,z} has z {p,q,r,...,y} facets around every peak, where a peak is a vertex in a polyhedron, an edge in a 4-polytope, a face in a 5-polytope, a cell in a 6-polytope, and an (n-3)-face in an n-polytope.

Properties

A regular polytope has a regular vertex figure. The vertex figure of a regular polytope {p,q,r,...y,z} is {q,r,...y,z}.

Regular polytopes can have star polygon elements, like the pentagram, with symbol {5/2}, represented by the vertices of a pentagon but connected alternately.

The Schläfli symbol can represent a finite convex polyhedron, an infinite tessellation of Euclidean space, or an infinite tessellation of hyperbolic space, depending on the angle defect of the construction. A positive angle defect allows the vertex figure to fold into a higher dimension and loops back into itself as a polytope. A zero angle defect tessellates space of the same dimension as the facets. A negative angle defect cannot exist in ordinary space, but can be constructed in hyperbolic space.

Usually, a facet or a vertex figure is assumed to be a finite polytope, but can sometimes itself be considered a tessellation.

A regular polytope also has a dual polytope, represented by the Schläfli symbol elements in reverse order. A self-dual regular polytope will have a symmetric Schläfli symbol.

In addition to describing Euclidean polytopes, Schlafli symbols can be used to describe spherical polytopes or spherical honeycombs.^[1]^:138

History and variations

Schafli's work was almost unknown in his lifetime, and his notation for describing polytopes was rediscovered independently by several others. In particular, Thorold Gosset rediscovered the Schlafli symbol which he wrote as | p | q | r | ... | z | rather than with brackets and commas as Schlafli did.^[1]^:144

Gosset's form has greater symmetry, so the number of dimensions is the number of vertical bars, and the symbol exactly includes the sub-symbols for facet and vertex figure. Gosset regarded | p as an operator, which can be applied to | q | ... | z | to produce a polytope with p-gonal faces whose vertex figure is | q | ... | z |.

Cases

Symmetry groups

Schläfli symbols are closely related to (finite) reflection symmetry groups, which correspond precisely to the finite Coxeter groups and are specified with the same indices, but square brackets instead [p,q,r,...]. Such groups are often named by the regular polytopes they generate. For example, [3,3] is the Coxeter group for reflective tetrahedral symmetry, and [3,4] is reflective octahedral symmetry, and [3,5] is reflective icosahedral symmetry.

Regular polygons (plane)

The Schläfli symbol of a (convex) regular polygon with p edges is {p}. For example, a regular pentagon is represented by {5}.

For (nonconvex) star polygons, the constructive notation p/s is used, where p is the number of vertices and s-1 is the number skipped when drawing each edge of the star. For example, {5/2} represents the pentagram.

Regular polyhedra (3 dimensions)

The Schläfli symbol of a regular polyhedron is {p,q} if its faces are p-gons, and each vertex is surrounded by q faces (the vertex figure is a q-gon).

For example, {5,3} is the regular dodecahedron. It has pentagonal (5 edges) faces, and 3 pentagons around each vertex.

See the 5 convex Platonic solids, the 4 nonconvex Kepler-Poinsot polyhedra.

Topologically, a regular 2-dimensional tessellation may be regarded as similar to a (3-dimensional) polyhedron, but such that the angular defect is zero. Thus, Schläfli symbols may also be defined for regular tessellations of Euclidean or hyperbolic space in a similar way as for polyhedra. The analogy holds for higher dimensions.

For example, the hexagonal tiling is represented by {6,3}.

Regular 4-polytopes (4 dimensions)

The Schläfli symbol of a regular 4-polytope is of the form {p,q,r}. Its (two-dimensional) faces are regular p-gons ({p}), the cells are regular polyhedra of type {p,q}, the vertex figures are regular polyhedra of type {q,r}, and the edge figures are regular r-gons (type {r}).

See the six convex regular and 10 regular star 4-polytopes.

For example, the 120-cell is represented by {5,3,3}. It is made of dodecahedron cells {5,3}, and has 3 cells around each edge.

There is one regular tessellation of Euclidean 3-space: the cubic honeycomb, with a Schläfli symbol of {4,3,4}, made of cubic cells and 4 cubes around each edge.

There are also 4 regular compact hyperbolic tessellations including {5,3,4}, the hyperbolic small dodecahedral honeycomb, which fills space with dodecahedron cells.

Regular n-polytopes (higher dimensions)

For higher-dimensional regular polytopes, the Schläfli symbol is defined recursively as {p₁, p₂, ..., p_n − 1} if the facets have Schläfli symbol {p₁,p₂, ..., p_n − 2} and the vertex figures have Schläfli symbol {p₂,p₃, ..., p_n − 1}.

A vertex figure of a facet of a polytope and a facet of a vertex figure of the same polytope are the same: {p₂,p₃, ..., p_n − 2}.

There are only 3 regular polytopes in 5 dimensions and above: the simplex, {3,3,3,...,3}; the cross-polytope, {3,3, ..., 3,4}; and the hypercube, {4,3,3,...,3}. There are no non-convex regular polytopes above 4 dimensions.

Dual polytopes

If a polytope of dimension ≥ 2 has Schläfli symbol {p₁,p₂, ..., p_n − 1} then its dual has Schläfli symbol {p_n − 1, ..., p₂,p₁}.

If the sequence is palindromic, i.e. the same forwards and backwards, the polytope is self-dual. Every regular polytope in 2 dimensions (polygon) is self-dual.

Prismatic polytopes

Uniform prismatic polytopes can be defined and named as a Cartesian product (with operator "×") of lower-dimensional regular polytopes.

In 0D, a point is represented by ( ). Its Coxeter diagram is empty. Its Coxeter notation symmetry is ][.
In 1D, a line segment is represented by { }. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [ ].
In 2D, a rectangle is represented as { } × { }. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [2].
In 3D, a p-gonal prism is represented as { } × {p}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [2,p].
In 4D, a uniform {p,q}-hedral prism is represented as { } × {p,q}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [2,p,q].
In 4D, a uniform p-q duoprism is represented as {p} × {q}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [p,2,q].

The prismatic duals, or bipyramids can be represented as composite symbols, but with the addition operator, "+".

In 2D, a rhombus is represented as { } + { }. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [2].
In 3D, a p-gonal bipyramid, is represented as { } + {p}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [2,p].
In 4D, a {p,q}-hedral bipyramid is represented as { } + {p,q}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [p,q].
In 4D, a p-q duopyramid is represented as {p} + {q}. Its Coxeter diagram is Կաղապար:CDD. Its symmetry is [p,2,q].

Pyramidal polytopes containing vertices orthogonally offset can be represented using a join operator, "∨". Every pair of vertices between joined figures are connected by edges.

In 2D, an isosceles triangle can be represented as ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].

In 3D:

A digonal disphenoid can be represented as { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )].
A p-gonal pyramid is represented as ( ) ∨ {p}.

In 4D:

A p-q-hedral pyramid is represented as ( ) ∨ {p,q}.
A 5-cell is represented as ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] or [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3}.
A square pyramidal pyramid is represented as ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] or [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.

When mixing operators, the order of operations from highest to lowest is ×, +, ∨.

Axial polytopes containing vertices on parallel offset hyperplanes can be represented by the || operator. A uniform prism is {n}||{n}. and antiprism {n}||r{n}.

Extension of Schläfli symbols

Polygons and circle tilings

A truncated regular polygon doubles in sides. A regular polygon with even sides can be halved. An altered even-sided regular 2n-gon generates a star figure compound, 2{n}.

Form	Schläfli symbol	Symmetry	Coxeter diagram
Regular	{p}	[p]	Կաղապար:CDD	Hexagon	Կաղապար:CDD
Truncated	t{p} = {2p}	[[p]] = [2p]	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD	Truncated hexagon (Dodecagon)	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Altered and Holosnubbed	a{2p} = β{p}	[2p]	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD	Altered hexagon (Hexagram)	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Half and Snubbed	h{2p} = s{p} = {p}	[1⁺,2p] = [p]	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD	Half hexagon (Triangle)	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD

Polyhedra and tilings

Coxeter expanded his usage of the Schläfli symbol to quasiregular polyhedra by adding a vertical dimension to the symbol. It was a starting point toward the more general Coxeter diagram. Norman Johnson simplified the notation for vertical symbols with an r prefix. The t-notation is the most general, and directly corresponds to the rings of the Coxeter diagram. Symbols have a corresponding alternation, replacing rings with holes in a Coxeter diagram and h prefix standing for half, construction limited by the requirement that neighboring branches must be even-ordered and cuts the symmetry order in half. A related operator, a for altered, is shown with two nested holes, represents a compound polyhedra with both alternated halves, retaining the original full symmetry. A snub is a half form of a truncation, and a holosnub is both halves of an alternated truncation.

Form	Schläfli symbols			Symmetry	Coxeter diagram
Regular	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{p,q}	t₀{p,q}	[p,q] or [(p,q,2)]	Կաղապար:CDD		Cube	Կաղապար:CDD
Truncated	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t{p,q}	t_0,1{p,q}		Կաղապար:CDD		Truncated cube	Կաղապար:CDD
Bitruncation (Truncated dual)	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2t{p,q}	t_1,2{p,q}		Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Truncated octahedron	Կաղապար:CDD
Rectified (Quasiregular)	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	r{p,q}	t₁{p,q}		Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Cuboctahedron	Կաղապար:CDD
Birectification (Regular dual)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r{p,q}	t₂{p,q}		Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Octahedron	Կաղապար:CDD
Cantellated (Rectified rectified)	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr{p,q}	t_0,2{p,q}		Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Rhombicuboctahedron	Կաղապար:CDD
Cantitruncated (Truncated rectified)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr{p,q}	t_0,1,2{p,q}		Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Truncated cuboctahedron	Կաղապար:CDD

Alternations, quarters and snubs

Alternations have half the symmetry of the Coxeter groups and are represented by unfilled rings. There are two choices possible on which half of vertices are taken, but the symbol doesn't imply which one. Quarter forms are shown here with a + inside a hollow ring to imply they are two independent alternations.

Alternations
Form	Schläfli symbols			Symmetry	Coxeter diagram
Alternated (half) regular	$h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}$	h{2p,q}	ht₀{2p,q}	[1⁺,2p,q]	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD		Demicube (Tetrahedron)	Կաղապար:CDD
Snub regular	$s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}$	s{p,2q}	ht_0,1{p,2q}	[p⁺,2q]	Կաղապար:CDD
Snub dual regular	$s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}$	s{q,2p}	ht_1,2{2p,q}	[2p,q⁺]	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Snub octahedron (Icosahedron)	Կաղապար:CDD
Alternated rectified (p and q are even)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr{p,q}	ht₁{p,q}	[p,1⁺,q]	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD
Alternated rectified rectified (p and q are even)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr{p,q}	ht_0,2{p,q}	[(p,q,2⁺)]	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD
Quartered (p and q are even)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q{p,q}	ht₀ht₂{p,q}	[1⁺,p,q,1⁺]	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD
Snub rectified Snub quasiregular	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr{p,q}	ht_0,1,2{p,q}	[p,q]⁺	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD	Snub cuboctahedron (Snub cube)	Կաղապար:CDD

Altered and holosnubbed

Altered and holosnubbed forms have the full symmetry of the Coxeter group, and are represented by double unfilled rings, but may be represented as compounds.

Altered and holosnubbed
Form	Schläfli symbols			Symmetry	Coxeter diagram		Example, {4,3}
Altered regular	$a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	a{p,q}	at₀{p,q}	[p,q]	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD ∪ Կաղապար:CDD			Stellated octahedron	Կաղապար:CDD
Holosnub dual regular	$ß{q, p}$	ß{q,p}	at_0,1{q,p}	[p,q]	Կաղապար:CDD	Կաղապար:CDD		Compound of two icosahedra	Կաղապար:CDD

ß, looking similar to the greek letter beta (β), is the German alphabet letter eszett.

Polychora and honeycombs

Linear families
Form	Schläfli symbol			Coxeter diagram
Regular	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p,q,r}	t₀{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Tesseract	Կաղապար:CDD
Truncated	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t{p,q,r}	t_0,1{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Truncated tesseract	Կաղապար:CDD
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r{p,q,r}	t₁{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Rectified tesseract	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Bitruncated		2t{p,q,r}	t_1,2{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Bitruncated tesseract	Կաղապար:CDD
Birectified (Rectified dual)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t₂{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Rectified 16-cell	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Tritruncated (Truncated dual)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t_2,3{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Bitruncated tesseract	Կաղապար:CDD
Trirectified (Dual)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t₃{p,q,r} = {r,q,p}	Կաղապար:CDD	16-cell	Կաղապար:CDD
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr{p,q,r}	t_0,2{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Cantellated tesseract	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr{p,q,r}	t_0,1,2{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Cantitruncated tesseract	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Runcinated (Expanded)	$e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e₃{p,q,r}	t_0,3{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Runcinated tesseract	Կաղապար:CDD
Runcitruncated			t_0,1,3{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Runcitruncated tesseract	Կաղապար:CDD
Omnitruncated			t_0,1,2,3{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Omnitruncated tesseract	Կաղապար:CDD

Alternations, quarters and snubs

Alternations
Form	Schläfli symbol			Coxeter diagram
Alternations
Half p even	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h{p,q,r}	ht₀{p,q,r}	Կաղապար:CDD	16-cell	Կաղապար:CDD
Quarter p and r even	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q{p,q,r}	ht₀ht₃{p,q,r}	Կաղապար:CDD
Snub q even	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s{p,q,r}	ht_0,1{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Snub 24-cell	Կաղապար:CDD
Snub rectified r even	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr{p,q,r}	ht_0,1,2{p,q,r}	Կաղապար:CDD	Snub 24-cell	Կաղապար:CDD = Կաղապար:CDD
Alternated duoprism		s{p}s{q}	ht_0,1,2,3{p,2,q}	Կաղապար:CDD	Great duoantiprism	Կաղապար:CDD

Bifurcating families

Bifurcating families
Form	Extended Schläfli symbol			Coxeter diagram
Quasiregular	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p,q^1,1}	t₀{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	16-cell	Կաղապար:CDD
Truncated	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t{p,q^1,1}	t_0,1{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	Truncated 16-cell	Կաղապար:CDD
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r{p,q^1,1}	t₁{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	24-cell	Կաղապար:CDD
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr{p,q^1,1}	t_0,2,3{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	Cantellated 16-cell	Կաղապար:CDD
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr{p,q^1,1}	t_0,1,2,3{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	Cantitruncated 16-cell	Կաղապար:CDD
Snub rectified	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr{p,q^1,1}	ht_0,1,2,3{p,q^1,1}	Կաղապար:CDD	Snub 24-cell	Կաղապար:CDD
Quasiregular	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r,/q\,p}	t₀{r,/q\,p}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD
Truncated	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t{r,/q\,p}	t_0,1{r,/q\,p}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r{r,/q\,p}	t₁{r,/q\,p}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t_0,2,3{r,/q\,p}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t_0,1,2,3{r,/q\,p}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD
Snub rectified	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht_0,1,2,3{p,/q\,r}	Կաղապար:CDD		Կաղապար:CDD

Tessellations

Spherical

Regular

{4,4}
{6,3}

Semi-regular

Hyper-bolic

References

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (Third ed.). New York: Dover.

Sources

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Regular Polytopes (Third ed.). Dover Publications. էջեր 14, 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, 978-0-471-01003-6
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

External links

Warning: Default sort key "Schlafli symbol" overrides earlier default sort key "Dual Polyhedron".

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, который внёс значительный вклад в геометрию и другие области математики.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника $\Gamma$ размерности $n$ записывается в виде $\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}$ . Он индуктивно определяется следующим образом: определим $p_{1}$ как число сторон двухмерной грани многогранника $\Gamma$ . Затем зафиксируем одну из вершин $P$ многогранника $\Gamma$ и рассмотрим все вершины, соединённые с ней ребром. Все они лежат в одной гиперплоскости $H$ , ортогональной к оси, соединяющей центр многогранника с вершиной $P$ . Сечение многогранника $\Gamma$ гиперплоскостью $H$ представляет собой правильный многогранник $\Gamma ^{\prime }$ размерности $n-1$ . Поскольку все вершины $\Gamma$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины $P$ . Теперь определим $p_{2}$ как число сторон двухмерной грани многогранника $\Gamma ^{\prime }$ . Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника $\Gamma$ . Таким образом, символ Шлефли $n$ -мерного многогранника состоит из $n-1$ целого числа $\geq 3$ .

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
$2$	$\{3\}$	Правильный треугольник
$2$	$\{4\}$	Правильный четырёхугольник
$2$	$\{5\}$	Правильный пятиугольник
$2$	$\{6\}$	Правильный шестиугольник
$2$	$\{n\}$	Правильный n-угольник
$3$	$\{3,3\}$	Правильный тетраэдр
$3$	$\{4,3\}$	Куб
$3$	$\{3,4\}$	Октаэдр
$3$	$\{3,5\}$	Икосаэдр
$3$	$\{5,3\}$	Додекаэдр
$4$	$\{3,3,3\}$	Пятиячейник
$4$	$\{4,3,3\}$	Тессеракт
$4$	$\{3,3,4\}$	Шестнадцатиячейник
$4$	$\{3,4,3\}$	Двадцатичетырёхъячейник
$4$	$\{5,3,3\}$	Стодвадцатиячейник
$4$	$\{3,3,5\}$	Шестисотячейник
$\geq 5$	$\{3,...,3\}$	Симплекс
$\geq 5$	$\{3,...,3,4\}$	Гипероктаэдр
$\geq 5$	$\{4,3,...,3\}$	Гиперкуб

См. также

Ссылки

Weisstein, Eric W., "Символ Шлефли", MathWorld.
Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП first draught(չաշխատող հղում)

Կաղապար:Символ Шлефли Կաղապար:Многогранники

քառանիստը (տետրաեդր), վեցանիստը (հեքսաեդր, խորանարդ), ութանիստի (օկտաեդր) տասերկուանիստը (դոդեկաեդր), քսանանիստի (իկոսաեդր)

Համաչափության խմբեր

Մաթեմատիկայում համաչափության հասկացությունն ուսումնասիրվում է մաթեմատիկական խմբերի հասկացության հետ:

In mathematics, the concept of symmetry is studied with the notion of a mathematical group. Every polyhedron has an associated symmetry group, which is the set of all transformations (Euclidean isometries) which leave the polyhedron invariant. The order of the symmetry group is the number of symmetries of the polyhedron. One often distinguishes between the full symmetry group, which includes reflections, and the proper symmetry group, which includes only rotations.

Группы симметрии

В математике понятие симметрии изучается с понятием математической группы. Каждый многогранник имеет связанную группу симметрии, которая является множеством всех преобразований (евклидовых изометрий), которые оставляют многогранник инвариантным. Порядок группы симметрии - это число симметрий многогранника. Часто различают полную группу симметрии, которая включает в себя отражения, и правильную группу симметрии, которая включает только вращения.

The symmetry groups of the Platonic solids are a special class of three-dimensional point groups known as polyhedral groups. The high degree of symmetry of the Platonic solids can be interpreted in a number of ways. Most importantly, the vertices of each solid are all equivalent under the action of the symmetry group, as are the edges and faces. One says the action of the symmetry group is transitive on the vertices, edges, and faces. In fact, this is another way of defining regularity of a polyhedron: a polyhedron is regular if and only if it is vertex-uniform, edge-uniform, and face-uniform.

Группы симметрии платоновых тел являются специальным классом трехмерных точечных групп, известных как полиэдральные группы. Высокая степень симметрии платоновых тел может быть интерпретирована несколькими способами. Самое главное, что вершины каждого тела эквивалентны под действием группы симметрии, равно как и ребра и грани. Один говорит, что действие группы симметрии транзитивно на вершинах, ребрах и гранях. Фактически, это еще один способ определения регулярности многогранника: многогранник регулярен тогда и только тогда, когда он однороден по вершинам, однороден по ребрам и однороден по граням.

There are only three symmetry groups associated with the Platonic solids rather than five, since the symmetry group of any polyhedron coincides with that of its dual. This is easily seen by examining the construction of the dual polyhedron. Any symmetry of the original must be a symmetry of the dual and vice versa. The three polyhedral groups are:

the tetrahedral group T,
the octahedral group O (which is also the symmetry group of the cube), and
the icosahedral group I (which is also the symmetry group of the dodecahedron).

Существует только три группы симметрии, связанные с телами Платона, а не пять, поскольку группа симметрии любого многогранника совпадает с группой симметрии его двойственного. Это легко увидеть, рассмотрев конструкцию двойного многогранника. Любая симметрия оригинала должна быть симметрией двойственного и наоборот. Три полиэдральные группы:

тетраэдрическая группа Т,

октаэдрическая группа O (которая также является группой симметрии куба), и

икосаэдрическая группа I (которая также является группой симметрии додекаэдра).

The orders of the proper (rotation) groups are 12, 24, and 60 respectively – precisely twice the number of edges in the respective polyhedra. The orders of the full symmetry groups are twice as much again (24, 48, and 120). See (Coxeter 1973) for a derivation of these facts. All Platonic solids except the tetrahedron are centrally symmetric, meaning they are preserved under reflection through the origin.

В следующей таблице перечислены различные свойства симметрии платоновых тел. Перечисленные группы симметрии представляют собой полные группы с подгруппами вращения, указанными в скобках (аналогично количеству симметрий). Построение калейдоскопа Витоффа - это метод построения многогранников непосредственно из их групп симметрии. Они перечислены для обозначения символа Витоффа для каждого из Платоновых тел.

The following table lists the various symmetry properties of the Platonic solids. The symmetry groups listed are the full groups with the rotation subgroups given in parenthesis (likewise for the number of symmetries). Wythoff's kaleidoscope construction is a method for constructing polyhedra directly from their symmetry groups. They are listed for reference Wythoff's symbol for each of the Platonic solids.

Порядки собственных (вращающихся) групп равны 12, 24 и 60 соответственно - точно в два раза больше числа ребер в соответствующих многогранниках. Порядки групп полной симметрии снова в два раза больше (24, 48 и 120). См. (Coxeter 1973) для вывода этих фактов. Все твердые тела Платона, кроме тетраэдра, являются центрально-симметричными, то есть они сохраняются при отражении через начало координат.

Polyhedron	Schläfli symbol	Wythoff symbol	Dual polyhedron	Symmetry group (Reflection, rotation)
Polyhedron	Schläfli symbol	Wythoff symbol	Dual polyhedron	Polyhedral	Schön.	Cox.	Orb.	Order
tetrahedron	{3, 3}	3 \| 2 3	tetrahedron	Tetrahedral	T_d T	[3,3] [3,3]⁺	*332 332	24 12
cube	{4, 3}	3 \| 2 4	octahedron	Octahedral	O_h O	[4,3] [4,3]⁺	*432 432	48 24
octahedron	{3, 4}	4 \| 2 3	cube	Octahedral	O_h O	[4,3] [4,3]⁺	*432 432	48 24
dodecahedron	{5, 3}	3 \| 2 5	icosahedron	Icosahedral	I_h I	[5,3] [5,3]⁺	*532 532	120 60
icosahedron	{3, 5}	5 \| 2 3	dodecahedron	Icosahedral	I_h I	[5,3] [5,3]⁺	*532 532	120 60

In nature and technology

Կաղապար:Uncited section The tetrahedron, cube, and octahedron all occur naturally in crystal structures. These by no means exhaust the numbers of possible forms of crystals. However, neither the regular icosahedron nor the regular dodecahedron are amongst them. One of the forms, called the pyritohedron (named for the group of minerals of which it is typical) has twelve pentagonal faces, arranged in the same pattern as the faces of the regular dodecahedron. The faces of the pyritohedron are, however, not regular, so the pyritohedron is also not regular. Allotropes of boron and many boron compounds, such as boron carbide, include discrete B₁₂ icosahedra within their crystal structures. Carborane acids also have molecular structures approximating regular icosahedra.

В природе и технике

Sectionաղապար: Uncited section Тетраэдр, куб и октаэдр все естественным образом встречаются в кристаллических структурах. Они ни в коем случае не исчерпывают количество возможных форм кристаллов. Однако среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра. Одна из форм, называемая пиритоэдром (названная в честь группы минералов, для которой она характерна), имеет двенадцать пятиугольных граней, расположенных по той же схеме, что и грани правильного додекаэдра. Однако грани пиритоэдра не являются правильными, поэтому пиритоэдр также не является регулярным. Аллотропы бора и многие соединения бора, такие как карбид бора, включают в свои кристаллические структуры дискретные икосаэдры B12. Карборановые кислоты также имеют молекулярные структуры, приближающиеся к регулярным икосаэдрам.

Circogonia icosahedra, a species of radiolaria, shaped like a regular icosahedron.

In the early 20th century, Ernst Haeckel described (Haeckel, 1904) a number of species of Radiolaria, some of whose skeletons are shaped like various regular polyhedra. Examples include Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus and Circorrhegma dodecahedra. The shapes of these creatures should be obvious from their names.

В начале 20-го века Эрнст Геккель (Haeckel, 1904) описал ряд видов радиолярий, некоторые из скелетов которых имеют форму различных правильных многогранников. Примеры включают в себя Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra. Формы этих существ должны быть очевидны из их имен.

Many viruses, such as the herpes virus, have the shape of a regular icosahedron. Viral structures are built of repeated identical protein subunits and the icosahedron is the easiest shape to assemble using these subunits. A regular polyhedron is used because it can be built from a single basic unit protein used over and over again; this saves space in the viral genome.

Многие вирусы, такие как вирус герпеса, имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры построены из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, и икосаэдр является самой легкой формой для сборки с использованием этих субъединиц. Используется обычный многогранник, потому что он может быть построен из одного базового единичного белка, используемого снова и снова; это экономит место в вирусном геноме.

In meteorology and climatology, global numerical models of atmospheric flow are of increasing interest which employ geodesic grids that are based on an icosahedron (refined by triangulation) instead of the more commonly used longitude/latitude grid. This has the advantage of evenly distributed spatial resolution without singularities (i.e. the poles) at the expense of somewhat greater numerical difficulty.

В метеорологии и климатологии все больший интерес представляют глобальные численные модели атмосферного потока, в которых используются геодезические сетки, основанные на икосаэдре (уточненном триангуляцией), а не на более широко используемой сетке долготы / широты. Это имеет преимущество равномерно распределенного пространственного разрешения без сингулярностей (то есть полюсов) за счет некоторой большей численной сложности.

Geometry of space frames is often based on platonic solids. In the MERO system, Platonic solids are used for naming convention of various space frame configurations. For example, 12O+T refers to a configuration made of one half of octahedron and a tetrahedron.

Геометрия пространственных рам часто основана на платоновых телах. В системе MERO твердые тела Платона используются для обозначения имен различных конфигураций пространственного кадра. Например,112O + T относится к конфигурации, состоящей из половины октаэдра и тетраэдра.

Several Platonic hydrocarbons have been synthesised, including cubane and dodecahedrane.

Было синтезировано несколько платоновых углеводородов, включая кубан и додекаэдран.

Platonic solids are often used to make dice, because dice of these shapes can be made fair. 6-sided dice are very common, but the other numbers are commonly used in role-playing games. Such dice are commonly referred to as dn where n is the number of faces (d8, d20, etc.); see dice notation for more details.

Платонические тела часто используются для изготовления костей, потому что кости этих форм могут быть сделаны справедливыми. Шестигранные кости очень распространены, но другие числа обычно используются в ролевых играх. Такие кости обычно называют dn, где n - количество граней (d8, d20 и т. Д.); см. примечание кости для более подробной информации.

These shapes frequently show up in other games or puzzles. Puzzles similar to a Rubik's Cube come in all five shapes – see magic polyhedra.

Эти формы часто появляются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм - см. Волшебные многогранники.

Liquid crystals with symmetries of Platonic solids

For the intermediate material phase called liquid crystals, the existence of such symmetries was first proposed in 1981 by H. Kleinert and K. Maki.^[1]^[2] In aluminum the icosahedral structure was discovered three years after this by Dan Shechtman, which earned him the Nobel Prize in Chemistry in 2011.

Жидкие кристаллы с симметрией платоновых тел

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование таких симметрий было впервые предложено в 1981 г. Х. Клейнертом и К. Маки. В алюминии икосаэдрическая структура была открыта через три года после этого Дэном Шехтманом, который получил Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

Related polyhedra and polytopes Родственные многогранники и многогранники

Uniform polyhedra

There exist four regular polyhedra which are not convex, called Kepler–Poinsot polyhedra. These all have icosahedral symmetry and may be obtained as stellations of the dodecahedron and the icosahedron.

Однородные многогранники

Существует четыре правильных многогранника, которые не являются выпуклыми, которые называются многогранниками Кеплера – Пуансо. Все они имеют икосаэдрическую симметрию и могут быть получены в виде звездочек додекаэдра и икосаэдра.

cuboctahedron	icosidodecahedron

The next most regular convex polyhedra after the Platonic solids are the cuboctahedron, which is a rectification of the cube and the octahedron, and the icosidodecahedron, which is a rectification of the dodecahedron and the icosahedron (the rectification of the self-dual tetrahedron is a regular octahedron). These are both quasi-regular, meaning that they are vertex- and edge-uniform and have regular faces, but the faces are not all congruent (coming in two different classes). They form two of the thirteen Archimedean solids, which are the convex uniform polyhedra with polyhedral symmetry. Their duals, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron, are edge- and face-transitive, but their faces are not regular and their vertices come in two types each; they are two of the thirteen Catalan solids.

Следующими наиболее правильными выпуклыми многогранниками после твердых тел Платона являются кубоктаэдр, который является выпрямлением куба и октаэдра, и икосидодекаэдр, который является выпрямлением додекаэдра и икосаэдра (выпрямление самодуального тетраэдра представляет собой правильный октаэдр). Они оба квазирегулярны, что означает, что они имеют форму вершин и ребер и имеют правильные грани, но грани не все конгруэнтны (входят в два разных класса). Они образуют два из тринадцати архимедовых тел, которые представляют собой выпуклые однородные многогранники с многогранной симметрией. Их дуалы, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр, транзитивны по краям и граням, но их грани не регулярны, и их вершины бывают двух типов; это два из тринадцати каталонских тел.

The uniform polyhedra form a much broader class of polyhedra. These figures are vertex-uniform and have one or more types of regular or star polygons for faces. These include all the polyhedra mentioned above together with an infinite set of prisms, an infinite set of antiprisms, and 53 other non-convex forms.

Однородные многогранники образуют гораздо более широкий класс многогранников. Эти фигуры однородны по вершинам и имеют один или несколько типов правильных или звездных многоугольников для граней. К ним относятся все упомянутые выше многогранники вместе с бесконечным набором призм, бесконечным набором антипризм и 53 другими невыпуклыми формами.

The Johnson solids are convex polyhedra which have regular faces but are not uniform. Among them are five of the eight convex deltahedra, which have identical, regular faces (all equilateral triangles) but are not uniform. (The other three convex deltahedra are the Platonic tetrahedron, octahedron, and icosahedron.)

Тела Джонсона - это выпуклые многогранники, которые имеют правильные грани, но не являются однородными. Среди них пять из восьми выпуклых дельтаэдров, которые имеют одинаковые правильные грани (все равносторонние треугольники), но не являются однородными. (Другие три выпуклых дельтаэдра - это платоновый тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.)

Regular tessellations

Regular spherical tilings
Platonic tilings

{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Regular dihedral tilings

{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Regular hosohedral tilings

{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two infinite additional sets of regular tilings, the hosohedra, {2,n} with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, {n,2} with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator. Such tesselations would be degenerate in true 3D space as polyhedra.

Три регулярных тесселяции плоскости тесно связаны с Платоновыми телами. В самом деле, Платоновы тела можно рассматривать как регулярные тесселяции сферы. Это делается путем проецирования каждого тела на концентрическую сферу. Грани проецируются на правильные сферические многоугольники, которые точно покрывают сферу. Сферические мозаичные элементы обеспечивают два бесконечных дополнительных набора правильных мозаичных изображений: hosohedra, {2, n} с двумя вершинами на полюсах и гранях лунки, и двойные диэдры, {n, 2} с двумя полусферическими гранями и регулярно расположенными вершинами на экватор. Такие тесселяции были бы вырожденными в истинном трехмерном пространстве как многогранники.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers {p, q} with 1p + 1q > 12. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1p + 1q = 12. There are three possibilities:

Можно показать, что каждая регулярная тесселяция сферы характеризуется парой целых чисел {p, q} с

1п , Точно так же регулярная тесселяция плоскости характеризуется условием 1пQзнак равно

, Есть три варианта:

The three regular tilings of the Euclidean plane
{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

In a similar manner, one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1p + 1q < 12. There is an infinite family of such tessellations.

Аналогичным образом можно рассмотреть регулярные тесселяции гиперболической плоскости. Они характеризуются состоянием

1

п

+

1

Q

<

1

2

, Существует бесконечное семейство таких тесселяций.

Example regular tilings of the hyperbolic plane
{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

Ծանոթագրություններ

↑ Kleinert and Maki (1981)
↑ The liquid-crystalline blue phases (1989). by Tamar Seideman, Reports on Progress in Physics, Volume 53, Number 6

Warning: Default sort key "Platonic Solid" overrides earlier default sort key "Schlafli symbol".

[1] Wenninger (1983), "Basic notions about stellation and duality", p. 1.

[2] Grünbaum (2003)

[3] Cundy & Rollett (1961), 3.2 Duality, pp. 78–79; Wenninger (1983), Pages 3-5. (Note, Wenninger's discussion includes nonconvex polyhedra.)

[4] See for example Grünbaum & Shephard (2013), and Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) also discusses some issues on the way to deriving his infinite duals.

[5] Grünbaum (2007), Theorem 3.1, p. 449.

[6] Cundy & Rollett (1961), p. 117; Wenninger (1983), p. 30.

[7] 3D Java models at Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra, based on paper by Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Fast generation of planar graphs PDF [1]

[8] Anthony M. Cutler and Egon Schulte; "Regular Polyhedra of Index Two", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.

[9] N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Vol. A 30, Part 4 July 1974, Fig. 3c and accompanying text.

[10] Brückner, M.; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Leipzig, 1900.

[:0-11] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (Third ed.). New York: Dover.

[12] Kleinert and Maki (1981)

[13] The liquid-crystalline blue phases (1989). by Tamar Seideman, Reports on Progress in Physics, Volume 53, Number 6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[1]

[1]

[2]

Kinds of duality

Polar reciprocation

Canonical duals

Topological duality

Построение[править | править код]

Построение Дормана Люка[править | править код]

Dorman Luke construction

Self-dual polyhedra

Самодвойственные многогранники[править | править код]

Self-dual compound polyhedra

Dual polytopes and tessellations

Self-dual polytopes and tessellations

See also

References

Notes

Bibliography

External links

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Definition

Properties

History and variations

Cases

Symmetry groups

Regular polygons (plane)

Regular polyhedra (3 dimensions)

Regular 4-polytopes (4 dimensions)

Regular n-polytopes (higher dimensions)

Dual polytopes

Prismatic polytopes

Extension of Schläfli symbols

Polygons and circle tilings

Polyhedra and tilings

Alternations, quarters and snubs

Altered and holosnubbed

Polychora and honeycombs

Alternations, quarters and snubs

Bifurcating families

Tessellations

References

Sources

External links

Построение

Примеры

См. также

Ссылки

Համաչափության խմբեր

In nature and technology

These shapes frequently show up in other games or puzzles. Puzzles similar to a Rubik's Cube come in all five shapes – see magic polyhedra.

Эти формы часто появляются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм - см. Волшебные многогранники.

Liquid crystals with symmetries of Platonic solids

Related polyhedra and polytopes Родственные многогранники и многогранники

Uniform polyhedra

Regular tessellations

Ծանոթագրություններ