Մինկովսկու գումար

Երկրաչափությունում էվկլիդյան տարածության մեջ գտնվող դիրքային վեկտորների 2 բազմության Մինկովսկու գումարը ձևավորվում է առաջին բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի և երկրորդ բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի գումարներով․

A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}

Նման կերպ ստացվում է նաև Մինկովսկու տարբերության սահմանումը․

A-B=\{\mathbf {c} \,|\,\mathbf {c} +B\subseteq A\}

Կարևոր է նկատել, որ ընդհանուր առմամաբ $A-B\neq A+(-B)$ ։ Մինկովսկու գումարի և տարբերության կապի ճշգրիտ բանաձևը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով

A-B=(A^{c}+(-B))^{c}

Հասկացությունը կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Հերման Մինկովսկու անվամբ.

Օրինակներ

Օրինակ, եթե մենք ունենք 2 բազմություններ, և յուրաքանչյուր բազմության մեջ կա երեք դիրքային վեկտոր՝ ներկայացնող 2 եռանկայան գագաթներ $\mathbb {R} ^{2}$ -ում, հետևյալ կոորդինատներով

A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}

և

B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\},

ապա նրանց Մինկովսկու գումարը կստացվի

A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(0,-1),(1,-2)\},

որը համընկնում է հեքսագոնի գագաթների հետ։

Մինկովսկու գումարի համար զրոյական բազմությունը՝ {0}, պարունակող միայն զրոյական վեկտորը, 0 միավոր էլեմենտ է կամայական S վեկտորական ենթաբազմության համար

S+\{0\}=S.

Դատարկ բազմությունը կարևոր է Մինկովսկու գումարի համար, քանի որ դատարկ բազմությունը վերացնում է ամեն մի այլ ենթաբազմություն՝ կամայական վեկտորական տարածության S ենթաբազմության համար, իր և դատարկ բազմության գումարը դատարկ բազմություն է

S+\emptyset =\emptyset .

Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան

Մինկովսկու գումարը լավ է իրեն դրսևորում, երբ վերցնում ենք ուռուցիկ գծային կոմբինացիան, ինչպես նշված է հետևյալ հատկութկունում․

Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ S₁ և S₂ ենթաբազմություննների Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան հավասար է իրենց ուռուցիկ գծային կոմբինացիաների Մինկովսկու գումարին․

\operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).

Այս արդյունքը պահպանում է ավելի ընդհանուր կամայական ոչ դատարկ բազմությունների համար․

\operatorname {Conv} \left(\sum {S_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S_{n}).

Մաթեմատիկայի տերմինաբանության մեջ Մինկովսկու գումարի օպերատորը և ուռուցիկ գծային կոմբինացիան կոմուտատիվ օպերատորներ են^[1]^[2]։

Եթե $S$ -ը ուռուցիկ բազմություն է, ապա նույնպես ուռուցիկ բազմություն է։ Ավելին

\mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S

կամայական $\mu ,\lambda \geq 0$ : Եվ հակառակը, եթե բաշխվածությունը տեղի ունի յուրաքանչյուր իրական $\mu ,\lambda$ -ի համար, ապա բազմությունը ուռուցիկ է․

Մինկովսկու գումարը գծայնորեն է գործում 2 չափանի տարածության մեջ գտնվող ուռուցիկ մարմնի պարամետրի վրա։ Ավելին, եթե K-ն հաստատուն լայնության կորի արտաքին մասն է․ ապա K-ի և իր 180° շրջման Մինկովսկու գումարը դիսկ է։ Այս երկու փաստերը կարող ենք միախառնել ստանալու Բարբիերի թեորեմի կարճ ապացույցը հաստատուն լայնության կորի պարամետրի վրա^[3]։

Ծանոթագրություններ

↑ Theorem 3 (pages 562–563): Krein, M.; Šmulian, V. (1940). «On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space». Annals of Mathematics. Second Series. Vol. 41. էջեր 556–583. doi:10.2307/1968735. JSTOR 1968735. MR 0002009.
↑ For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of mathematics and its applications. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. էջեր xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8. MR 1216521.
↑ The Theorem of Barbier (Java) at cut-the-knot.

[1] Theorem 3 (pages 562–563): Krein, M.; Šmulian, V. (1940). «On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space». Annals of Mathematics. Second Series. Vol. 41. էջեր 556–583. doi:10.2307/1968735. JSTOR 1968735. MR 0002009.

[2] For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of mathematics and its applications. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. էջեր xiv+490. ISBN 978-0-521-35220-8. MR 1216521.

[3] The Theorem of Barbier (Java) at cut-the-knot.

[1]

[2]

[3]