Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյուն կոչվում է այն եռանկյունը, որի 1 անկյունը ուղիղ է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև հարաբերությունը հիմք է հանդիսանում եռանկյունաչափության համար։

Ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր։

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը հանդիսանում են ամբողջ թվեր, ապա այդ եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են Պյութագորասյան եռյակներ:

Հիմնական հատկություններ

1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։ Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունները հավասար են 45°։
2. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
3. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է ներքնաձիգին բարձրություն, որը ներգնաձիգը բաժանում է 2 անհավասար մասերի, ապա բարձրության քառակուսին հավասար է այդ երկու անհավասար մասերի արտադրյալին։

Մակերես

Ինչպես ցանկացած եռանկյան մակերես, ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին։ Եթե եռանկյան մակերեսը նշանակենք T- ով, ապա կունենանք հետևյալ բանաձևը`

$T={\tfrac {1}{2}}ab$

որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են։

Բարձրություններ

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրություն:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան գագաթից տարված է բարձրություն, որը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնք նման են միմյանց և նաև նման են մեծ եռանկյանը, ապա

• Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հանդիսանում է երկրաչափական միջին մեծություն` ներքնաձիգի երկու անհավասար մասերի համար։
• Եռանկյան յուրաքանչյուր էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին կամ նրա հատվածներին հարակից են էջերին։

Ըստ հավասարման`

$\displaystyle f^{2}=de,$

$\displaystyle b^{2}=ce,$

$\displaystyle a^{2}=cd$

որտեղ a, b, c, d, e, f ցույց են տրված գծագրում։ Ինչպես`

$f={\frac {ab}{c}}.$

Բարձրության և ներքնաձիքի իրար կապող բանաձևերից մեկը հետևյալն է`

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.$

Պյութագորասի թեորեմ

Ըստ Պյութագորասի թեորեմի`ուղղանկյուն եռանկայն ներքնաձիգի երկարության քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։

Արտահայտված բանաձևով`

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

որտեղ c-ն հանդիսանում է եռանկյան ներքնաձիգը, իսկ a-ն և b-ն` էջերը։

Ներգծված և արտագծված եռանկյան շառավիղներ

Եթե ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և եթե այն նշանակենք r-ով, ապա այն հավասար կլինի`

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.$

Ուղղանկյուն առանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին․

$R={\frac {c}{2}}.$

Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված և ներգծված շրջանագծերի գումարը հավասար է եռանկյան էջերի կեսին.

$R+r={\frac {a+b}{2}}.$

Եթե պետք է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան էջի երկարությունը, ներգծված շրջանագծի միջոցով, ապա օգտվում ենք հետևյալ բանաձևից`

$\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.$

Բնութագրեր

Կողմեր և կիսապարագիծ

• $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=c^{2}\quad$
• $\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $\displaystyle s=2R+r.$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$

Անկյուններ

• $\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$
• $\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$
• $\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$
• $\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Մակերես

• $\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
• $\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• $\displaystyle T=r(2R+r)$

Արտագծված և ներգծված շրջանագծեր

• $\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
• $\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
• $\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
• $\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}$

Բարձրություններ և միջնագծեր

• $\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
• Միջնագծի երկարությունը հավասար է արտագծված շրջանագծի շառավղին։
• ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը նաև հնարավոր է գտնել «Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունների թեորեմի» միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան հավասարութան հայտանիշեր

1․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները հավասար են։

2․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և առընթեր սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

3․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան 2 էջերը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան 2 էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

4․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

Հատուկ ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյան հատուկ ձևերը երկուսն են`

1. Այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյունները հավասար են` 30-60-90
2. Այն ուղղանկյուն եռանկունը, որի անկյունները հավասար են` 45-45-90

Դիտարկենք առաջին դեպքը, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի, ապա օգտվում ենք ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից մեկից, ըստ որի`

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

Դիտարկելով երկրորդ դեպքը, նկատում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան երկու անկյունները իրար հավասար են, այսինքն` ստանում ենք հավասարասրուն աղղանկյուն եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են։

Կեպլերի եռանկյուն

Դիտարկենք եռանկյուն, որի մեջ ունենք հետևյալ կետերը` H, G, A: Ընդ որում կետերը համապատասխանաբար հանդիսանում են տվյալ եռանկյան հարմոնիկ միջին մեծությունը, երկրաչափական միջին մեծությունը և թվաբանական միջին մեծությունը։

Ըստ Կեպլերի ունենում ենք հետևյալ բանաձևը`

${\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,$

և

${\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,$

որտեղ $\phi$ հավասար է ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,$

Աղբյուրներ

• Երկրաչափության 7-րդ դասարանի դասագիրք

Արտաքին հղումներ

• Calculator for right triangles Արխիվացված 2017-09-30 Wayback Machine
• Advanced right triangle calculator