Transformasi Galileo

Dalam fisika, transformasi Galileo adalah transformasi dari koordinat dalam suatu kerangka acuan ke sistem koordinat kerangka acuan lain yang bergerak konstan relatif terhadap kerangka acuan yang awal. Berdasarkan teori relativitas khusus, transformasi Galileo hanya berlaku untuk kecepatan yang relatif rendah, jauh lebih lambat dibanding kecepatan cahaya. Untuk kecepatan yang tinggi, diperlukan transformasi Lorentz.

Peristiwa dan koordinat

Gerak dapat dikatakan bersifat relatif. Relativitas yang terjadi dalam gerak ini dapat ditinjau dari konsep kejadian, pengamat, dan kerangka acuan. Kejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang pada suatu waktu sesaat yang tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit, tumbukkan antara dua mobil, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu kejadian dan melakukan pengukuran, misalnya pengukuran koordinat dan waktu disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang kita memerlukan suatu sistem koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan dengan koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu sistem koordinat.

Bagi seorang pengamat, suatu peristiwa dicirikan dengan menetapkan empat koordinatnya: tiga koordinat kedudukan (x, y, z) yang menyatakan jaraknya ke titik asal sebuah sistem koordinat tempat pengamat benda, dan koordinat waktu (t) yang dicatat pengamat dengan jamnya.

Konsep titik materi

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P − P’ > 0 satuan jarak. Dalam konsep ini, titik materi P bisa tidak memiliki jarak dengan P’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P − P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak.

Jika suatu koordinat ruang diwakili oleh koordinat x, y dan z, maka titik temu dengan koordinat ruang dan waktu lainnya harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi koordinat, kecepatan, dan percepatan

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P₁ dan P₂.

Pengamat P₁ diam atau relatif diam, pengamat P₂ relatif bergerak dan objek O relatif bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P₁ adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P₂ dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P₁ dan P₂.

Jika posisi O menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi:

• $x_{o}=f(t)$, dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah $v_{ox}={\frac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}$
• $y_{o}=g(t)$, dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah $v_{oy}={\frac {\mathrm {d} g(t)}{\mathrm {d} t}}$
• $z_{o}=h(t)$, dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah $v_{oz}={\frac {\mathrm {d} h(t)}{\mathrm {d} t}}$

Dan posisi P₂ menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi:

• $x_{2}=j(t)$, dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah $v_{2x}={\frac {\mathrm {d} j(t)}{\mathrm {d} t}}$
• $y_{2}=k(t)$, dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu y adalah $v_{2y}={\frac {\mathrm {d} k(t)}{\mathrm {d} t}}$
• $z_{2}=l(t)$, dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu z adalah $v_{2z}={\frac {\mathrm {d} l(t)}{\mathrm {d} t}}$

Ruang inersia menurut P₂ adalah sama menurut P₁, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P₁ dan P₂ adalah juga sama.

Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P2 adalah:

$x'_{o}=f(t)-j(t)$

$y'_{o}=g(t)-k(t)$

$z'_{o}=h(t)-l(t)$

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P2 bisa dituliskan menjadi:

$v_{ox'}={\frac {\mathrm {d} x'_{o}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} j(t)}{\mathrm {d} t}}=v_{ox}-v_{2x}$

$v_{oy'}={\frac {\mathrm {d} y'_{o}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} g(t)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} k(t)}{\mathrm {d} t}}=v_{oy}-v_{2y}$

$v_{oz'}={\frac {\mathrm {d} z'_{o}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} h(t)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} l(t)}{\mathrm {d} t}}=v_{oz}-v_{2z}$

Sedangkan untuk percepatan, percepatan sebuah partikel adalah turunan kecepatan terhadap waktu, yakni $a={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}$. Untuk mendapatkan transformasi percepatan Galileo, transformasi kecepatan didiferensiasikan dengan kenyataan bahwa t’ = t dan v tetap. Hasilnya adalah

$a'_{x}=a_{x}$

$a'_{y}=a_{y}$

$a'_{z}=a_{z}$

Jadi, komponen-komponen percepatan yang diukur adalah sama bagi semua pengamat yang bergerak dengan kecepatan relatif yang seragam.

Keinvarian persamaan

Keinvarian sebuah persamaan adalah bahwa persamaan akan memiliki bentuk yang sama apabila ditentukan oleh dua pengamat. Dalam teori klasik, diasumsikan bahwa pengukuran ruang dan waktu oleh dua pengamat dikaitkan melalui transormasi Galileo. Jadi, apabila sebuah persamaan mengambil bentuk khusus tertentu bagi seorang pengamat, maka kita dapat menerapkan transformasi Galileo pada bentuk ini untuk menentukan bentuk bagi pengamat lain. Jika kedua bentuk itu sama, maka persamaannya invarian terhadap transformasi Galileo.