Calcolo combinatorio e probabilità

2019

Indice

Indice

Introduzione

Insiemi

Introduzione

Insiemi numerici

Numeri naturali

Numeri interi

Numeri razionali

Irrazionalità di

Numeri reali

Numeri complessi

Operazioni

Unione

Intersezione

Differenza

Proprietà

Leggi dell'idempotenza

Leggi commutative

Leggi d'identità

Leggi del complemento

Leggi associative

Leggi distributive

Leggi di De Morgan

Calcolo combinatorio

Introduzione

Anagrammi di parole

Permutazioni semplici

Permutazioni con ripetizione

Disposizioni semplici

Disposizioni con ripetizione

Combinazioni semplici

Ancora anagrammi

Coefficiente binomiale

Il triangolo di Tartaglia

Probabilità

Introduzione

Teoremi

Teorema della probabilità totale

Teorema della probabilità condizionata

Teorema di Bayes

Eventi incompatibili

Eventi indipendenti

Evento contrario

Proprietà

Formula di Bernoulli

Operatore unione

Proprietà

Formule

Operatore intersezione

Proprietà

Formule

Probabilità condizionata

Proprietà

Formule

Operatore differenza

Proprietà

Formule

Esercizi svolti

Testo esercizi

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Svolgimento esercizi

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Introduzione

Il calcolo combinatorio è un potente strumento matematico dalle molteplici funzioni, serve per fare calcoli di problemi pratici, risolvere esercizi scolastici o universitari o, semplicemente, per allenare la propria mente a ragionare, anche in presenza di situazioni complesse.

Potreste essere interessati, ad esempio, a sapere in quanti modi è possibile scegliere un rappresentante e un vice-rappresentante tra venti candidati. Questi problemi e moltissimi altri sembrano essere difficili da risolvere, ma vedremo che non è proprio così, lo scopo di questo libro è quello di fornire i metodi essenziali per la risoluzioni di problemi semplici e complessi.

Affronteremo i vari argomenti con un duplice approccio, quello intuitivo e quello formale, il primo più adatto all’allenamento del proprio modo di ragionare e alle gare delle Olimpiadi della Matematica, il secondo alla risoluzioni dei più o meno classici esercizi scolastici e universitari.

La probabilità è legata al calcolo combinatorio e si basa sul concetto di associare ad un evento un numero che rappresenta il grado di fiducia sul suo verificarsi o meno. Ad esempio siamo portati a dire, intuitivamente, che la probabilità che esca testa da un lancio di una moneta a due facce non truccata sia del 50%. Questo è legato al fatto che ci sono due possibili esiti, testa o croce, che hanno pari possibilità di uscita. La probabilità in questo caso è esattamente il rapporto tra il numero di casi favorevoli (l’uscire testa), cioè 1, e quelli possibili, cioè 2, ottenendo 1/2=0.5, ovvero, in percentuale, il 50%.

La probabilità è di grandissima utilità in molte situazioni e viene largamente usata praticamente in tutte le discipline scientifiche. Troviamo il concetto di probabilità, ad esempio, nel significato fisico del modulo quadro della funzione d'onda di una particella in meccanica quantistica oppure nel significato delle ampiezze di decadimento di alcune particelle in fisica teorica delle particelle. In realtà la probabilità viene usata anche in casi di normale quotidianità, può essere ad esempio d'aiuto per una decisione, come nella scelta di percorrere una strada piuttosto che un'altra o nella scelta di adottare determinati comportamenti in determinate situazioni.

Per poter effettuare agevolmente calcoli di combinatoria e di probabilità occorre conoscere gli insiemi e le loro proprietà e possedere le basi matematiche correlate. Per questo motivo il primo capitolo è dedicato agli insiemi, il secondo al calcolo combinatorio e il terzo alla probabilità. In ogni capitolo ci sono esempi dettagliati e,