Visualizza wikitesto di Insieme polare

{{nota disambigua|l'analogo concetto in [[analisi complessa]] e [[teoria del potenziale]]|[[Insieme polare (teoria del potenziale)|Insieme polare]]}}
In [[matematica]], in particolare in [[analisi funzionale]], un '''insieme polare''' di un sottoinsieme di uno [[spazio vettoriale]] è un insieme nello [[spazio duale]] che soddisfa determinate proprietà.

==Definizione==
Si definisce ''coppia duale'' una tripla composta da due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] <math>X</math> e <math>Y</math> sullo stesso campo <math>\mathbb{F}</math> (dei [[numero reale|numeri reali]] o [[numero complesso|complessi]]) e da una [[forma bilineare]] <math>\langle , \rangle : X \times Y \to \mathbb{F}</math> tale che:
* <math>\forall x \in X \setminus \{0\} \quad \exists y \in Y : \langle x,y \rangle \neq 0</math>
* <math>\forall y \in Y \setminus \{0\} \quad \exists x \in X : \langle x,y \rangle \neq 0</math>
 
Due elementi <math>x \in X</math> e <math>y \in Y</math> sono ortogonali se <math>\langle x, y\rangle = 0</math>, mentre due insiemi <math>M \subseteq X</math> e <math>N \subseteq Y</math> sono ortogonali se ogni coppia di elementi in <math>M</math> e <math>N</math> è formata da vettori ortogonali fra loro.

L'insieme polare di un sottoinsieme <math>A</math> in <math>X</math> è l'insieme <math>A^\circ</math> in <math>Y</math> definito come:

:<math>A^\circ := \{y \in Y : \sup_{x \in A} |\langle x,y \rangle |  \le 1\}</math>

L'insieme detto ''insieme bipolare'' di un sottoinsieme <math>A</math> di <math>X</math> è il polare in <math>X</math> di <math>A^\circ</math>, e si denota con <math>A^{\circ\circ}</math>.

== Proprietà==
* <math>A^\circ</math> è [[Insieme convesso|assolutamente convesso]]
* Se <math>A \subseteq B</math> allora <math>B^\circ \subseteq A^\circ</math>
* <math>(\gamma A)^\circ = \frac{1}{\mid\gamma\mid}A^\circ \qquad \forall \gamma \neq 0</math>
* <math>(\bigcup_{i \in I} A_i)^\circ = \bigcap_{i \in I}A_i^\circ</math>
* Per una coppia duale <math>(X,Y)</math>, <math>A^\circ</math> è [[insieme chiuso|chiuso]] in <math>Y</math> rispetto alla [[topologia operatoriale|topologia debole*]] su <math>Y</math>.
* Il bipolare <math>A^{\circ\circ}</math> di <math>A</math> è l'[[Inviluppo (matematica)|inviluppo]] assolutamente convesso di <math>A</math>, ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente <math>A</math>. Se <math>A</math> è già assolutamente convesso allora <math>A^{\circ\circ}=A</math>.

==Bibliografia==
* {{en}}{{Cita libro|cognome=Aliprantis|nome=C.D.|cognome2=Border|nome2=K.C.|titolo=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edizione=3|editore=Springer|anno=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|p=215}}

==Voci correlate==
* [[Forma bilineare]]
* [[Spazio duale]]
* [[Topologia polare]]

==Collegamenti esterni==
* {{cita web|http://profs.sci.univr.it/~baldo/aa2010/Note_su_Goncharov.pdf|Antonio Marigonda - Note sul seminario del prof. Vladimir V. Goncharov per il corso di analisi funzionale}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Topologia generale]]
[[Categoria:Spazi vettoriali topologici]]