Insieme polare

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.

Definizione

Si definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali $X$ e $Y$ sullo stesso campo $\mathbb {F}$ (dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare $\langle ,\rangle :X\times Y\to \mathbb {F}$ tale che:

• $\forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0$
• $\forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0$

Due elementi $x\in X$ e $y\in Y$ sono ortogonali se $\langle x,y\rangle =0$, mentre due insiemi $M\subseteq X$ e $N\subseteq Y$ sono ortogonali se ogni coppia di elementi in $M$ e $N$ è formata da vettori ortogonali fra loro.

L'insieme polare di un sottoinsieme $A$ in $X$ è l'insieme $A^{\circ }$ in $Y$ definito come:

$A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}$

L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme $A$ di $X$ è il polare in $X$ di $A^{\circ }$, e si denota con $A^{\circ \circ }$.

Proprietà

• $A^{\circ }$ è assolutamente convesso
• Se $A\subseteq B$ allora $B^{\circ }\subseteq A^{\circ }$
• $(\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }\qquad \forall \gamma \neq 0$
• $(\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }$
• Per una coppia duale $(X,Y)$, $A^{\circ }$ è chiuso in $Y$ rispetto alla topologia debole* su $Y$.
• Il bipolare $A^{\circ \circ }$ di $A$ è l'inviluppo assolutamente convesso di $A$, ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente $A$. Se $A$ è già assolutamente convesso allora $A^{\circ \circ }=A$.

Bibliografia

• (EN) C.D. Aliprantis e K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3ª ed., Springer, 2007, p. 215, DOI:10.1007/3-540-29587-9, ISBN 978-3-540-32696-0.

Voci correlate

• Forma bilineare
• Spazio duale
• Topologia polare

Collegamenti esterni

• Antonio Marigonda - Note sul seminario del prof. Vladimir V. Goncharov per il corso di analisi funzionale (PDF), su profs.sci.univr.it.