Epigrafico (matematica): differenze tra le versioni

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In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

f:A\to \mathbb {R}

definita su un insieme $A$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

{\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq \ f(x)\}\subseteq A\times \mathbb {R}

Se $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n}$ , l'epigrafico è un sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{n+1}$ .

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

A=\mathbb {R} ^{n}

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

è un semispazio di $\mathbb {R} ^{n+1}$ .

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.

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+{{F|matematica|ottobre 2015}}
-In [[analisi matematica]], '''epigrafo''' di una [[funzione (matematica)|funzione]] ''f''&nbsp;:&nbsp;T→'''R''' è l'insieme di punti che stanno al di sotto o sul [[grafico di una funzione|grafico della funzione]]:
+[[File:Epigraph convex.svg|alt=|thumb|Una funzione è convessa {{sic|[[Se e solo se|sse]]}} la regione sopra al suo [[Grafico di una funzione|grafico]] (in verde) è un [[insieme convesso]]. Questa regione è l'epigrafico della funzione.]]
+In [[analisi matematica]], l''''epigrafico''' di una [[funzione (matematica)|funzione]]
+:<math>f:A\to \R </math>
+definita su un insieme <math>A</math> è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul [[grafico di una funzione|grafico della funzione]]:
-: <math>\mbox{epi} f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in T,\, \mu \in \mathbb{R},\, f(x)\ge \mu \} \subseteq \mathbb{T} \times \mathbb{R}</math>
+: <math>\mbox{epi} f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in A,\, \mu \in \mathbb{R},\mu \ge \ f(x)\} \subseteq A\times \mathbb{R}</math>
+Se <math>A</math> è un sottoinsieme di <math>\R^n</math>, l'epigrafico è un sottoinsieme di <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>.
-se<br>
-<math> \mathbb{T}=\mathbb{R}^n</math>
-allora l'epigrafo sarà un sottoinsieme di <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>
 ==Proprietà==
+=== Convessità ===
 Nell'ipotesi:
-:<math> \mathbb{T}= \mathbb{R}^n</math>
+:<math> A = \mathbb{R}^n</math>
-Una funzione è [[funzione convessa|convessa]] se e solo se il suo epigrafo è un [[insieme convesso]]. L'epigrafo di una funzione affine reale ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R'''<sup>n</sup>→'''R''' è un [[semispazio]] di '''R'''<sup>n+1</sup>.
+Una funzione è [[funzione convessa|convessa]] se e solo se il suo epigrafico è un [[insieme convesso]].
+Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi
+=== Funzioni lineari ===
-Una funzione è [[Semicontinuità|inferiormente semicontinua]] se e solo se il suo epigrafo è [[Insieme chiuso|chiuso]].
+L'epigrafico di una [[funzione affine]] reale
+:<math>g:\R^n \to \R </math>
+è un [[semispazio]] di <math>\R^{n+1}</math>.
+=== Semicontinuità ===
-[[Categoria:Analisi matematica]]
+Una funzione è [[Semicontinuità|inferiormente semicontinua]] se e solo se il suo epigrafico è [[Insieme chiuso|chiuso]].
+[[Categoria:Funzioni matematiche]]
-[[de:Epigraph (Mathematik)]]
-[[en:Epigraph (mathematics)]]
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