Teorema di Kellogg (punto fisso)

In analisi matematica, il teorema di Kellogg è un teorema di punto fisso che fornisce una condizione di unicità per il punto fisso dato dal teorema di Brouwer (e dal teorema di Schauder, nel caso a dimensione infinita). Il teorema è stato dimostrato nel 1975 da R. B. Kellogg, e pubblicato sulla rivista Proceedings of the AMS.

Il teorema

Il teorema di Brouwer garantisce, data una funzione continua $f:{\overline {B}}\to {\overline {B}}$ definita sul disco chiuso:

{\overline {B}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leqslant 1\}

l'esistenza di un punto fisso, cioè un $x$ tale che $f(x)=x$ .

Il teorema di Kellogg garantisce che, sotto opportune ipotesi, tale punto fisso è anche unico, similmente a quanto accade nel teorema delle contrazioni. Nello specifico stabilisce che se valgono le ipotesi seguenti:

La funzione $f\in C^{1}(D)$ è una funzione completamente continua definita sulla chiusura ${\overline {D}}$ di un sottoinsieme aperto convesso $D$ in uno spazio di Banach reale.
Per ogni $x$ in $D$ , la derivata $f'$ non ha autovalore 1.
Non esistono punti fissi sul bordo. In altre parole, $f(x)\neq x$ per ogni $x$ in $\partial D$ .

Allora $f$ ha un unico punto fisso nell'interno $D$ .

Esiste una seconda versione del teorema:

sia $D$ un sottoinsieme aperto, convesso e limitato di uno spazio di Banach reale $X$ . Sia $F:{\overline {D}}\to {\overline {D}}$ un'applicazione continua, compatta e differenziabile secondo Fréchet su $D$ . Si supponga che: