Teoremi di punto fisso

In matematica, con teoremi di punto fisso ci si riferisce ai risultati che, in diversi contesti tra cui l'analisi matematica, la geometria o la topologia, mostrano l'esistenza di almeno un punto fisso per una qualche funzione definita in vari spazi.

Tipologie di risultati

In particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:

Teoremi di contrazioni (in particolare il teorema delle contrazioni, o teorema del punto fisso di Banach)
Teoremi di compattezza (risultati di Brouwer, di Schauder, di Schaefer, di Kakutani, e altri)
Teoremi di mappe non espansive (studiate in particolare da Browder, Göhde e Kirk)
Teoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di non compattezza) (Darbo e Sadovskii)
Teoremi d'ordine, che si basano su proprietà di monotonia (Bourbaki, Kneser, Amann e ad esempio il teorema di Knaster-Tarski)
Teoremi con indice di punto fisso
Teoremi misti (ad esempio il teorema di Krasnoselskii)

Analisi

I seguenti teoremi vengono utilizzati in analisi matematica, in particolare nei campi delle equazione differenziale ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Il teorema del punto fisso di Banach (o delle contrazioni) asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
Il teorema delle funzioni contrattive asserisce che una funzione contrattiva definita in un compatto ha uno e un solo punto fisso.
Il teorema delle funzioni non espansive asserisce che una funzione non espansiva definita in un compatto e convesso ha almeno un punto fisso.
Il teorema di Caristi (o di Caristi-Kirk) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.
Il teorema di Browder-Göhde-Kirk è un altro teorema sulle mappe non espansive.
Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ in sé ha sempre un punto fisso.
Il teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni) che se $C$ è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach $B$ e $f\colon C\to C$ è una funzione continua con immagine compatta, allora $f$ ha almeno un punto fisso.
Il teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.
Il teorema di Schaefer che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme $C$ , chiuso e convesso, del punto precedente.
Il teorema di Rothe considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.
Il teorema di Altman utilizza una stima della norma.
Il teorema di Tichonov si applica ad ogni spazio vettoriale topologico $V$ localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto $X$ di $V$ , e per ogni funzione continua $f\colon X\to X$ esiste (almeno) un punto fisso per $f$ .
Il teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.
Il teorema di Krasnoselskii considera una funzione $F$ che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.
Teorema di Darbo-Sadovskii
Teorema di Atiyah-Bott
Teorema di Lefschetz
Teorema di Earle-Hamilton
Teorema di punto fisso di Day: si considera un gruppo G localmente compatto e amenabile e una media invariante.

Teoria degli ordini

Geometria algebrica

Teorema di Borel

Topologia simplettica

Teorema di Poincaré-Birkhoff

Teoria delle categorie

Teorema di Lawvere

Bibliografia

(EN) Klaus Deimling, "Nonlinear Functional Analysis", Springer-Verlag (1985)
(EN) J. T. Schwartz, "Nonlinear Functional Analysis (Notes on Mathematics and It Applications)", Routledge (1969)
(EN) D. R. Smart, "Fixed point theorems", Cambridge University Press
(EN) Michael E. Taylor, "Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations", Springer (1979, 1996)
(EN) Eberhard Zeidler, "Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems", Springer (1998)