Misura discreta

In matematica, più precisamente nella teoria della misura, una misura sulla retta reale è detta misura discreta (rispetto alla misura di Lebesgue) se il suo supporto è al più un insieme numerabile.

Definizione e proprietà

Una misura $\mu$ definita sugli insiemi Lebesgue misurabili della retta reale a valori $[0,\infty ]$ è detta essere discreta se esiste una successione di numeri:

$s_{1},s_{2},\dots$

tale che:

$\mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0$

L'esempio più semplice di misura discreta sulla retta reale è la delta di Dirac $\delta$. Si ha che $\delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0$ e $\delta (\{0\})=1$.

Più generalmente, se $s_{1},s_{2},\dots$ è una successione di numeri reali, $a_{1},a_{2},\dots$ una sequenza di numeri in $[0,\infty ]$ della stessa lunghezza, allora si può considerare la misura di Dirac $\delta _{s_{i}}$ definita come:

$\delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}$

per ogni insieme Lebesgue misurabile $X$. Quindi, la misura:

$\mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}$

è una misura discreta. In effetti, si può dimostrare che ogni misura discreta sulla retta reale ha questa forma per una scelta appropriata di $s_{1},s_{2},\dots$ e $a_{1},a_{2},\dots$.

Estensioni

La nozione di misura discreta può essere estesa al caso più generale degli spazi misurabili. Dato uno spazio misurabile $(X,\Sigma ),$ e due misure $\mu$ and $\nu$ su di esso, $\mu$ si dice discreta rispetto alla misura $\nu$ se esiste un sottoinsieme al più numerabile $S$ di $X$ tale che:

• Tutti i singoletti $\{s\}$ con $s$ in $S$ sono misurabili (che implica che ogni sottoinsieme di $S$ è misurabile)
• $\nu (S)=0$
• $\mu (X\backslash S)=0$

Si noti che i primi due requisiti sono sempre soddisfatti per un sottoinsieme al più numerabile della retta reale se $\nu$ è la misura di Lebesgue, quindi non sono necessarie nella definizione data inizialmente.

Come nel caso delle misure sulla retta reale, una misura $\mu$ su $(X,\Sigma )$ è discreta rispetto ad un'altra misura $\nu$ sullo stesso spazio se e solo se $\mu$ ha la forma:

$\mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}$

dove $S=\{s_{1},s_{2},\dots \}$ e il singoletto $\{s_{i}\}$ sono in $\Sigma$, e la loro $\nu$-misura è 0.

Si può anche definire il concetto di discretezza per le misure con segno. Quindi al posto delle condizioni 2 e 3 sopra si deve chiedere che $\nu$ sia zero su tutti i sottoinsiemi misurabili $S$ e $\mu$ deve essere zero sui sottoinsiemi misurabili di $X\backslash S$.

Bibliografia

• (EN) V. G. Kurbatov, Functional differential operators and equations, Kluwer Academic Publishers, 1999, ISBN = 0792356241.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Misura (matematica)
• Misura deltiforme
• Supporto (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) A.P. Terekhin, Discrete measure, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.