Continuità uniforme

In analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell'immagine $f(x)$ (quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f(x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$ , ma non dal punto $x$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Funzione reale di variabile reale

Nel caso specifico di una funzione $f:I\to \mathbb {R}$ , dove $I\subseteq \mathbb {R}$ è un intervallo, si dice che $f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ esiste un numero reale $\delta >0$ , tale che per ogni $x_{1},x_{2}\in I$ con $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha

|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon

.

Diversamente dalla continuità semplice la distanza $\delta$ dipende quindi unicamente dalla distanza $\varepsilon$ e non dal punto $x_{1}$ o $x_{2}$ .

Funzione di spazi metrici

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: Dati due spazi metrici $(X,d_{X})$ e $(Y,d_{Y})$ , si dice che una funzione $f:X\to Y$ è uniformemente continua se

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ :\quad \forall x_{1},x_{2}\in X,\quad d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon

.

Esempi

Sono funzioni continue ma non uniformemente continue:

La funzione

f:(0,1)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {1}{x}}

infatti per ogni $\delta >0$ si possono trovare $x_{1},x_{2}\in (0,\delta )$ così che $|f(x_{1})-f(x_{2})|$ diventi addirittura arbitrariamente grande.

La funzione limitata

f:(0,1)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \sin \left({\frac {1}{x}}\right)

perché in ogni intervallo $I:=(0,\delta )$ si possono trovare $x_{1},x_{2}\in I$ con $|f(x_{1})-f(x_{2})|=2$ .

Sono funzioni uniformemente continue:

La funzione costante
La funzione identità
Le funzioni lineari
Le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (quindi le funzioni seno e coseno)

Condizioni necessarie o sufficienti per la continuità uniforme

Teorema di Heine-Cantor

Generalmente non ogni funzione continua è uniformemente continua, però nel caso specifico di un dominio compatto (per esempio un intervallo chiuso finito), il teorema di Heine-Cantor afferma che la continuità equivale alla continuità uniforme.

Lipschitzianità

Ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua: dato $\varepsilon >0$ , si può scegliere $\delta :=\varepsilon /K$ , dove $K>0$ è una costante di Lipschitz di $f$ . Non vale il viceversa.

Esempio

Si prenda $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$ .

Essa non è lipschitziana in $\mathbb {R}$ , ma lo è in qualunque intervallo del tipo $\left(-\infty ,-a)\cup (a,\infty \right)$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, $f(x)$ è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a 0 (ossia in un intervallo del tipo $\left[-a,a\right]$ , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di $f(x)$ (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che $f(x)$ è uniformemente continua in $\mathbb {R}$ , pur non essendo lipschitziana.

Asintoti all'infinito

Se una funzione continua definita su un intervallo illimitato del tipo $A=[a,+\infty )$ ammette un asintoto (obliquo od orizzontale) allora è uniformemente continua.

Sottoinsiemi e sovrainsiemi

Una funzione uniformemente continua in un insieme X lo è anche in ogni sottoinsieme E di X; non vale il viceversa (si pensi a $f(x)=x^{2}$ , che è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).