Teorema di Heine-Cantor

In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teorema

Siano $(M,d)$ e $(N,\rho )$ spazi metrici, e $f:M\to N$ una funzione continua su $M$. Se $M$ è compatto allora $f$ è uniformemente continua.

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

Dimostrazione

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0:\forall x,y\in M,d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon$

equivale a

$\exists {\bar {\varepsilon }}>0:\forall \delta >0,\exists x=x_{\delta },y=y_{\delta }\in M:d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta ,\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}$.

Supponiamo dunque che esista ${\bar {\varepsilon }}>0$ tale che per ogni $\delta >0$ esistano punti $x_{\delta },y_{\delta }$ tali che

$d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta$ e $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}$

Diamo a $\delta$ i valori $1,{1 \over 2},{1 \over 3}\cdots ,{1 \over n},\cdots$ e denotiamo con $x_{n}$ e $y_{n}$ i corrispondenti punti $x_{\delta },y_{\delta }$.

In questo modo si definiscono due successioni di punti $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ e $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$.

Poiché $M$ è compatto da $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto $z\in M$; sia essa $\{x_{n_{j}}\}$.

Poiché $d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})<{1 \over n_{j}}\to 0$ per $j\to +\infty$, si ha

$d(y_{n_{j}},z)\leq d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})+d(x_{n_{j}},z)\to 0\quad$ per $j\to +\infty$. quindi anche $\{y_{n_{j}}\}$ converge a $z$

Poiché per ogni $j$ si ha

$\rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))\leq \rho (f(x_{n_{j}}),f(z))+\rho (f(y_{n_{j}}),f(z))$

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

$\lim _{j\to \infty }\rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))=0$

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}$

Condizione sufficiente

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione $f(x)=x$ è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.