Poliedro stellato uniforme
In geometria solida, un poliedro stellato uniforme è un poliedro uniforme auto-intersecante; per sottolineare quest'ultima proprietà, un poliedro di questo tipo è talvolta chiamato in letteratura anche "poliedro non-convesso". Ogni poliedro stellato uniforme può avere sia facce, sia figura al vertice a forma di poligono stellato.
L'insieme completo di 57 poliedri stellati uniformi non prismatici comprende 4 poliedri regolari, chiamati anche poliedri di Keplero-Poinsot, 5 poliedri quasiregolari e 48 poliedri semiregolari. A questi si sommano poi due serie infinite di prismi stellati uniformi e antiprismi stellati uniformi.
Proprio come i poligoni stellati non degeneri, aventi cioè una densità poligonale maggiore di 1, corrispondono a più poligoni circolari parzialmente sovrapposti, i poliedri stellati che sono privi di facce passanti per il loro centro hanno densità poliedrica maggiore di 1 e corrispondono a poliedri sferici parzialmente sovrapposti. Dei 57 poliedri stellati uniformi non prismatici esistenti, 47 sono di questo tipo, gli altri 10 invece sono costituiti dai 9 aventi facce passanti per il loro centro, ossia i cosiddetti emipoliedri, e dal grande dirombicosidodecaedro, l'unico poliedro uniforme che non può essere realizzato tramite la costruzione di Wythoff, e non hanno densità ben definita.[1][2]
Tutti i poliedri uniformi elencati nelle tabelle sottostanti si possono generare attraverso la costruzione di Wythoff, e quindi partendo da triangoli di Schwarz, e sono catalogati in base al loro gruppo di simmetria e alla disposizione dei loro vertici. I poliedri regolari sono indicati con il proprio simbolo di Schläfli, mentre quelli non regolari sono elencati con la propria incidenza dei vertici.
Ad alcuni poliedri è stata aggiunta anche la dicitura non uniforme, ad indicare che l'inviluppo convesso della disposizione dei vertici ha la stessa topologia di uno di questi ma non ha facce regolari.
Simmetria diedrica
Per questo paragrafo si rimanda alla voce relativa ai poliedri prismatici uniformi.
Simmetria tetraedrica
Esiste un poliedro non-convesso, il tetraemiesaedro, avente simmetria tetraedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (3 3 2)).
Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi unici: il triangolo rettangolo (3⁄2 3 2) e il triangolo (3⁄2 3 3). Quest'ultimo genera l'ottaemiottaedro, elencato di seguito data la sua simmetria ottaedrica.
| Disposizione dei vertici (Inviluppo convesso) |
Poliedri stellati | |
|---|---|---|
 Tetraedro |
||
 Tetraedro rettificato Ottaedro |
 4.3⁄2.4.3 3⁄2 3 | 2 | |
 Tetraedro troncato |
||
 Tetraedro cantellato (Cubottaedro) |
||
 Tetraedro omnitroncato (Ottaedro troncato) |
||
 Tetraedro camuso (Icosaedro) |
||
Simmetria ottaedrica
Esistono 8 poliedri convessi e 10 non convessi con simmetria ottaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (4 3 2)).
Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi: i due triangoli rettangoli (3⁄2 4 2) e (4⁄3 3 2) e i due triangoli (4⁄3 4 3) e (3⁄2 4 4).
| Disposizione dei vertici (Inviluppo convesso) |
Poliedri stellati | ||
|---|---|---|---|
 Cubo |
|||
 Ottaedro |
|||
 Cubottaedro |
 6.4⁄3.6.4 4⁄3 4 | 3 |
 6.3⁄2.6.3 3⁄2 3 | 3 | |
 Cubo troncato |
 4.8⁄3.4⁄3.8⁄5 2 4⁄3 (3⁄2 4⁄2) | |
 8⁄3.3.8⁄3.4 3 4 | 4⁄3 |
 4.3⁄2.4.4 3⁄2 4 | 2 |
 Ottaedro troncato |
|||
 Rombicubottaedro |
 4.8.4⁄3.8 2 4 (3⁄2 4⁄2) | |
 8.3⁄2.8.4 3⁄2 4 | 4 |
 8⁄3.8⁄3.3 2 3 | 4⁄3 |
 Cubottaedro troncato non uniforme |
 4.6.8⁄3 2 3 4⁄3 | | ||
 Cubottaedro troncato non uniforme |
 8⁄3.6.8 3 4 4⁄3 | | ||
 Cubo simo |
|||
Simmetria icosaedrica
Esistono 8 poliedri convessi e 46 non convessi aventi simmetria icosaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (5 3 2)), 47 se si considera anche il grande dirombidodecaedro dicamuso, detto anche "poliedro di Skilling".
Casi degeneri
Nei suoi studi H. S. M. Coxeter ha identificato diversi poliedri stellati degeneri realizzati attraverso il metodo di costruzione di Wythoff, i quali contengono facce o spigoli sovrapposti.[3] Tali poliedri includono:
- Piccolo icosidodecaedro complesso
- Grande icosidodecaedro complesso
- Piccolo rombicosidodecaedro complesso
- Grande rombicosidodecaedro complesso
- Rombidodecadodecaedro complesso
Note
- ^ Zvi HarEl, Uniform Solution for Uniform Polyhedra, Israel Institute of Technology, 1993. URL consultato il 6 giugno 2021 (archiviato dall'url originale l'8 giugno 2021).
- ^ Magnus Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 0-521-09859-9, OCLC 1738087.
- ^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Michael Selwyn Longuet-Higgins e J. C. P. Miller, Uniform Polyhedra, in Philosophical Transactions of The Royal Society, vol. 246, n. 916, The Royal Society Publishing, 1954. URL consultato il 6 giugno 2021.
