Solido di Catalan

In geometria un solido di Catalan, o solido archimedeo duale è un poliedro duale di un solido archimedeo. I solidi di Catalan prendono il loro nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan che per primo li ha descritti nel 1865.

Proprietà

Facce uniformi

Tutti i solidi di Catalan sono convessi. Poiché i solidi archimedei hanno vertici uniformi, e la dualità scambia i ruoli di vertici e facce, quelli di Catalan hanno facce uniformi: per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. D'altra parte, come i solidi archimedei non sono uniformi sulle facce, quelli di Catalan non lo sono sui vertici: esistono infatti vertici aventi valenze differenti.

Contrariamente alle facce dei solidi platonici e dei solidi archimedei, le facce dei solidi di Catalan non sono poligoni regolari. Tuttavia le cuspidi ai vertici sono regolari e presentano angoli diedri uguali. Inoltre due dei solidi di Catalan, il dodecaedro rombico e il triacontaedro rombico, sono uniformi sugli spigoli.

Chiralità

Come per i duali solidi archimedei, vi sono due coppie chirali di solidi di Catalan: una riguarda l'icositetraedro pentagonale e l'esacontaedro pentagonale. Sono solidi che non sono equivalenti alla loro immagine riflessa. Come per l'ipersfera di Poincaré il solido di Catalan potrebbe avere degli impieghi nella trasformazione della curvatura dello spazio-tempo su più dimensioni.

I solidi

Nella tabella, il gruppo di simmetria O_h, I_h e T_d è rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro, icosaedro e tetraedro. I gruppi O ed I sono i sottogruppi rispettivamente di O_h e I_h formati dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Nome e immagine	Solido archimedeo duale	Facce	Spigoli	Vertici	Tipo faccia	Gruppo di simmetria
dodecaedro rombico (Animazione)	cubottaedro	12	24	14	rombo	O_h
triacontaedro rombico (Animazione)	icosidodecaedro	30	60	32	rombo	I_h
triacistetraedro (Animazione)	tetraedro troncato	12	18	8	triangolo isoscele	T_d
triacisottaedro (Animazione)	cubo troncato	24	36	14	triangolo isoscele	O_h
tetracisesaedro (Animazione)	ottaedro troncato	24	36	14	triangolo isoscele	O_h
triacisicosaedro (Animazione)	dodecaedro troncato	60	90	32	triangolo isoscele	I_h
pentacisdodecaedro (Animazione)	icosaedro troncato	60	90	32	triangolo isoscele	I_h
icositetraedro trapezoidale (Animazione)	rombicubottaedro	24	48	26	deltoide	O_h
esacisottaedro (Animazione)	cubottaedro troncato	48	72	26	triangolo scaleno	O_h
esacontaedro trapezoidale (Animazione)	rombicosidodecaedro	60	120	62	deltoide	I_h
esacisicosaedro (Animazione)	icosidodecaedro troncato	120	180	62	triangolo scaleno	I_h
icositetraedro pentagonale (Animazione) (Animazione)	cubo camuso	24	60	38	pentagono irregolare	O
esacontaedro pentagonale (Animazione) (Animazione)	dodecaedro camuso	60	150	92	pentagono irregolare	I