Teorema di Helly

In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.

In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata $BV_{loc}$.

Primo teorema di Helly

Sia data una successione $\{f_{n}\}_{n\geq 1}$ di funzioni a variazione limitata su un intervallo $[a,b]$, convergenti puntualmente a una funzione $f$ e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste $C\geq 0$ tale che:

$\sup _{n\geq 1}V_{a}^{b}[f_{n}]\leq C$

Allora la funzione limite $f$ è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua $g$ si verifica:

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}g(x)\,df_{n}(x)=\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)$

Secondo teorema di Helly

Da ogni insieme infinito $M$ di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo $[a,b]$.

Generalizzazioni

Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.

Sia $X$ uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia $E$ un sottoinsieme convesso di $X$. Detta $\Delta :X\to [0,\infty )$ una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che $z_{n}$ è una successione uniformemente limitata in $BV([0,T];X)$ con $z_{n}(t)\in E$ per ogni $n\in \mathbb {N}$ e $t\in [0,T]$. Allora esiste una sottosuccessione $z_{n_{k}}$ e una coppia di funzioni $\delta ,z\in BV([0,T];X)$ tali che:

$\int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t)\qquad z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E$

per ogni $t\in [0,T]$, e:

$\int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s)$

per ogni $0\leq s<t\leq T$.

Bibliografia

• (EN) V. Barbu e Precupanu, Th., Convexity and optimization in Banach spaces, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 10, Second Romanian Edition, Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1986, xviii+397, ISBN 90-277-1761-3.

Voci correlate

• Funzione a variazione limitata
• Integrale di Stieltjes
• Limitatezza uniforme
• Sottosuccessione
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• Paola Favro, Andreana Zucco - Appunti di geometria convessa (PDF), su dm.unito.it. URL consultato il 29 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 25 gennaio 2011).