ヘリーの選択定理

数学におけるヘリーの選択定理（ヘリーのせんたくていり、英: Helly's selection theorem）は、局所的に有界変動函数であり、ある点において一様有界であるような函数は収束部分列を持つ、ということを述べた定理である。言い換えると、空間 BV_loc に対するコンパクト性定理である。オーストラリアの数学者であるエードゥアルト・ヘリーの名にちなむ。

この定理は解析学において広く応用されている。確率論において、この結果は緊密な測度の族のコンパクト性を意味する。

定理の内容

U を実数直線のある開部分集合とし、f_n : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。

• (f_n) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界全変動とする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して

$\sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\left\|f_{n}\right\|_{L^{1}(W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,$

が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる；

• (f_n) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { f_n(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。

このとき、f_n のある部分列 f_nk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。

• f_nk は f に各点収束する；
• f_nk は L¹ において局所的に f に収束する（局所可積分函数を参照）。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。

$\lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;$

• また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。

$\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.$

一般化

ヘリーの選択定理には多くの一般化と拡張が存在する。バナッハ空間に値を取る BV 函数に対する次の定理は、Barbu and Precupanu によるものである。

X を回帰的かつ可分なヒルベルト空間とし、E を X の閉凸集合とする。Δ : X → [0, +∞) を正定かつ次数1の斉次函数とする。すべての n ∈ N と t ∈ [0, T] に対して z_n は BV([0, T]; X) 内の一様有界列で、z_n(t) ∈ E とする。このとき、ある部分列 z_nk と函数 δ, z ∈ BV([0, T]; X) が存在して、次が成り立つ。

• すべての t ∈ [0, T] に対して

$\int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t);$

• すべての t ∈ [0, T] に対して

$z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;$

• すべての 0 ≤ s < t ≤ T に対して

$\int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s).$

関連項目

• 有界変動函数
• フランコヴァ＝ヘリーの選択定理
• 全変動

参考文献

• Barbu, V.; Precupanu, Th. (1986). Convexity and optimization in Banach spaces. Mathematics and its Applications (East European Series). 10 (Second Romanian Edition ed.). Dordrecht: D. Reidel Publishing Co.. xviii+397. ISBN 90-277-1761-3  MR860772