Cardinalità del continuo

In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ (insieme che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere ${\mathfrak {c}}$ :

{\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |

Proprietà

Non numerabilità

Georg Cantor introdusse il concetto di cardinalità di un insieme per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò che l'insieme dei numeri reali è non numerabile, cioè che ${\mathfrak {c}}$ è maggiore della cardinalità dei numeri naturali, indicata con $\aleph _{0}$ (aleph-zero):

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

In altre parole, i numeri reali sono molti di più (incommensurabilmente di più) dei numeri interi: tanto che questi ultimi possono venire contati, mentre i numeri reali no (per esempio è perfettamente lecito parlare dei "primi 100 numeri interi"; la stessa espressione applicata ai numeri reali è priva di senso).

Cantor dimostrò quest'affermazione utilizzando una tecnica nota come l'argomento diagonale.

Uguaglianze tra numeri cardinali

Una variante dell'argomento diagonale di Cantor può essere usata per dimostrare il teorema di Cantor, che afferma che la cardinalità di ogni insieme è strettamente minore di quella del suo insieme delle parti, e cioè $|A|<2^{|A|}$ . Si può concludere che l'insieme delle parti ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ dell'insieme dei numeri naturali $\mathbb {N}$ è non numerabile. Viene dunque spontaneo chiedersi se la cardinalità di ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ sia uguale a ${\mathfrak {c}}$ : e la risposta è affermativa. Si può dimostrare quest'affermazione in due passi:

Si definisce una applicazione $f:\mathbb {R} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} )$ dall'insieme dei numeri reali all'insieme delle parti dei numeri razionali che associa ad ogni numero reale $x$ l'insieme $\{q\in \mathbb {Q} |q\leq x\}$ di tutti i razionali minori o uguali a $x$ (se si considerano i reali costruiti mediante sezioni di Dedekind, questa applicazione non è altro che l'inclusione nell'insieme degli insiemi di numeri razionali). Questa applicazione è iniettiva, perché i razionali sono densi nei reali. Dato che i razionali sono numerabili si ottiene che ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$ .
Sia $\{0,2\}^{\mathbb {N} }$ l'insieme delle successioni che assumono valori nell'insieme $\{0,2\}$ . Questo insieme ha cardinalità $2^{\aleph _{0}}$ (l'applicazione biunivoca naturale tra l'insieme delle successioni binarie e ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ è data dalla funzione caratteristica). Poi si associ ognuna di queste successioni $a_{i}$ al numero reale appartenente all'intervallo unitario $[0,1]$ che abbia come parte decimale (espressa in base 3) la successione $a_{i}$ . Questo significa che la $i$ -esima cifra dopo la virgola è data proprio da $a_{i}$ . L'immagine di questa applicazione è l'insieme di Cantor. Inoltre questa applicazione è iniettiva, perché evitando i punti con la cifra 2 nella loro espansione decimale in base 3 si evita l'ambiguità dovuta al fatto che l'espansione decimale di un numero reale non è unica. Si ha dunque che $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$ .

Per il teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder si conclude che

{\mathfrak {c}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.

Numeri beth

La successione dei numeri beth è definita ponendo $\beth _{0}=\aleph _{0}$ e $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ . Dunque ${\mathfrak {c}}$ è il secondo numero beth, beth-uno

{\mathfrak {c}}=\beth _{1}.

Il terzo numero beth, $\beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}$ , è la cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri reali.

Utilizzando le regole dell'aritmetica dei numeri cardinali si può dimostrare che

{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}^{n}=n^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}

dove $n$ è un qualunque cardinale finito maggiore o uguale a 2.

L'ipotesi del continuo

La famosa ipotesi del continuo afferma che ${\mathfrak {c}}$ è anche il secondo numero aleph, cioè $\aleph _{1}$ (aleph-uno). In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme $A$ avente cardinalità strettamente compresa tra $\aleph _{0}$ e ${\mathfrak {c}}$ :

\nexists A:\aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.

Oggi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi. In effetti, si ha che per ogni numero naturale $n$ diverso da zero, l'uguaglianza ${\mathfrak {c}}=\aleph _{n}$ è indipendente da ZFC (il caso $n=1$ è l'ipotesi del continuo). L'affermazione è vera per molti altri aleph, anche se in alcuni casi si può dimostrare l'uguaglianza, grazie al teorema di König sulla base della cofinalità, per esempio ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ . In particolare, ${\mathfrak {c}}$ può essere uguale a $\aleph _{1}$ oppure a $\aleph _{\omega _{1}}$ , dove $\omega _{1}$ rappresenta il primo numero ordinale non numerabile, e quindi ${\mathfrak {c}}$ può essere un cardinale successore o un cardinale limite, e un cardinale regolare oppure un cardinale singolare.

Insiemi con cardinalità ${\mathfrak {c}}$

Molti insiemi studiati in matematica hanno cardinalità uguale a ${\mathfrak {c}}$ . Per esempio:

l'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ ,
qualunque intervallo (non degenere) aperto o chiuso in $\mathbb {R}$ , come ad esempio l'intervallo unitario $[0,1]$ ,
l'insieme dei numeri irrazionali,
l'insieme dei numeri trascendenti,
lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ ,
l'insieme dei numeri complessi $\mathbb {C}$ ,
l'insieme delle parti dei numeri naturali (l'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali),
l'insieme delle successioni di interi, spesso indicato con $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ ,
l'insieme delle successioni di numeri reali, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ,
l'insieme di tutte le funzioni continue da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ (mentre l'insieme di tutte le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ ha cardinalità $2^{\mathfrak {c}}$ )^[1] ,
l'insieme di Cantor,
la topologia euclidea di $\mathbb {R} ^{n}$ (cioè l'insieme di tutti gli insiemi aperti in $\mathbb {R} ^{n}$ ).

Note

^ Le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ (o da $\mathbb {C}$ in $\mathbb {C}$ ) applicano a ogni punto di $\mathbb {R}$ (o di $\mathbb {C}$ ) un punto di $\mathbb {R}$ (o $\mathbb {C}$ ): il loro spazio ha dunque dimensione ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ ; per le funzioni continue, ci basta fissare i valori assunti dalla funzione nelle sue coordinate razionali, ottenendo così uno spazio di dimensione ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ .

Bibliografia

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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[1] Le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ (o da $\mathbb {C}$ in $\mathbb {C}$ ) applicano a ogni punto di $\mathbb {R}$ (o di $\mathbb {C}$ ) un punto di $\mathbb {R}$ (o $\mathbb {C}$ ): il loro spazio ha dunque dimensione ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ ; per le funzioni continue, ci basta fissare i valori assunti dalla funzione nelle sue coordinate razionali, ottenendo così uno spazio di dimensione ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ .

[1]