Commutatività

Video esempio della proprietà commutativa di una moltiplicazione, cambiando le posizioni di 34 e di 2 il risultato resta 68.

In matematica, un'operazione binaria $*$ definita su un insieme $S$ è commutativa se e solo se

x*y=y*x\quad \forall x,y\in S.

Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione $*$ è quindi detta non commutativa.

In particolare, se è vera la proprietà

$x*y=-y*x\quad \forall x,y\in S.$

l'operazione $*$ è detta anticommutativa.

Due elementi $x$ e $y$ commutano se $x*y=y*x$ . Quindi l'operazione $*$ è commutativa se e solo se due elementi di $S$ commutano sempre.

Esempi

Operazioni commutative

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ( $a+b$ ) e la moltiplicazione ( $a\times b$ ), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

4+5=5+4

(poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)

2\times 3=3\times 2

(poiché entrambe le espressioni valgono 6)

Altre operazioni binarie commutative sono:

minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;
minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;
addizione di vettori;
intersezione e unione di insiemi;
congiunzione logica e disgiunzione inclusiva;
composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;
composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Operazioni non commutative

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ( $a-b$ ), la divisione ( $a/b$ ) e l'elevamento a potenza ( $a^{b}$ ), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ( $f(g(x))$ ) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali $f(x)=x+3$ e $g(y)=y^{2}$ non commutano, in quanto

g(f(x))=x^{2}+6x+9,

f(g(x))=x^{2}+3.

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}

Il prodotto vettoriale, invece, rappresenta un esempio di operazione anticommutativa. Siano $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$ . Si ha:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$

Strutture algebriche con operazioni commutative

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&2&6&4&10&6\\3&6&3&12&15&6\\4&4&12&4&20&12\\5&10&15&20&5&30\\6&6&6&12&30&6\\\end{bmatrix}}$ e ${\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&1&2&1&2\\1&1&3&1&1&3\\1&2&1&4&1&2\\1&1&1&1&5&1\\1&2&3&2&1&6\\\end{bmatrix}}$