Continuità assoluta

In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Continuità assoluta delle funzioni reali

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere esiste un numero positivo $\delta (\varepsilon )$ tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli $[x_{k},y_{k}]$ del dominio della funzione tali che:

$]x_{k},y_{k}[\,\bigcap \,]x_{z},y_{z}[=\emptyset \quad k\neq z$

che verificano:

$\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta \$

si ha:

$\sum _{k}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon$

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa: ${\sqrt {x}}$ per $x\in [0,1]$ è assolutamente continua, ma non lipschitziana.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione $f$ definita sull'intervallo compatto $[a,b]$ a valori in $\mathbb {R}$ è assolutamente continua se possiede una derivata $f'$ definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt\qquad \forall x\in [a,b]$

In modo equivalente, esiste una funzione $g$ su $[a,b]$ integrabile secondo Lebesgue tale che:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt\qquad \forall x\in [a,b]$

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

$g=f'$

quasi ovunque.

Generalizzazioni

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $I\subset \mathbb {R}$ un intervallo. Una funzione $f:I\to X$ è assolutamente continua su $I$ se per ogni numero positivo $\epsilon$ esiste un numero positivo $\delta$ tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti $[x_{k},y_{k}]$ di $I$ soddisfa:

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

allora:

$\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon$

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da $I$ a $X$ è denotato con $AC(I;X)$.

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio $AC^{p}(I;X)$ delle curve $f:I\to X$ tali che:

$d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau \qquad \forall [s,t]\subseteq I$

per qualche $m$ nello spazio $L^{p}(I)$.

Continuità assoluta delle misure

Se $\mu$ e $\nu$ sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura $\mu$ si dice assolutamente continua rispetto a $\nu$ se $\mu (A)=0$ per ogni insieme $A$ per il quale $\nu (A)=0$. Questa situazione viene presentata con la scrittura $\mu \ll \nu$.

In modo equivalente, se $\mu$ è una misura finita, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che:

$|\mu (E)|<\varepsilon$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra tale che:

$\nu (E)<\delta \$

Proprietà

Se esiste un insieme $B$ tale per cui:

$\mu (E)=\mu (B\cap E)$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su $B$.

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ sono mutuamente singolari si scrive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se $\mu$ e $\nu$ sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ tali che:

$\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\qquad \mu _{1}\ll \nu \qquad \mu _{2}\perp \nu$

La decomposizione:

$\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\$

è detta decomposizione di Lebesgue di $\mu$ relativamente a $\nu$, ed è unica.

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione $h\in L^{1}(\nu )$ tale che:

$\mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu \$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile $f$ a valori in $[0,\infty ]$, denotata con:

$f={\frac {d\mu }{d\nu }}$

tale che per ogni insieme misurabile A si ha:

$\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu$

La funzione $f$ si dice derivata di Radon-Nikodym di $\mu$ rispetto $\nu$.

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure

Una misura $\mu$ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

$F(x)=\mu ((-\infty ,x])$

è una funzione reale assolutamente continua.

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate

• Continuità uniforme
• Funzione continua
• Misura (matematica)
• Teorema di Radon-Nikodym
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Continuità assoluta, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.P. Terekhin, V.F. Emel'yanov, L.D. Kudryavtsev, V.V. Sazonov, Absolute continuity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.