Disuguaglianza di Pólya-Szegő

In analisi funzionale, una branca della matematica, la disuguaglianza di Pólya-Szegő o disuguaglianza di Szegő afferma che se una funzione appartiene allo spazio di Sobolev $W^{1,p}$ allora anche il suo riordinamento radiale appartiene a tale spazio; inoltre il riordinamento ha norma minore o al più uguale.

La disuguaglianza

Siano $1\leq p<+\infty$ e $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ di $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ . Allora vale:

\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso della disuguaglianza di Hölder, della formula di coarea e della disuguaglianza isoperimetrica, ed è più semplice nel caso in cui $p>1$ . Sia $\Omega$ un aperto contenente il compatto su cui è definita la funzione.

Le funzioni $C^{\infty }$ a supporto compatto in $\Omega$ sono un sottoinsieme denso di $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ . Si può trovare quindi una successione $u_{k}$ tale che $u_{k}\to u$ in norma $W^{1,p}(\Omega )$ . Le $u_{k}$ sono chiaramente Lipschitziane essendo almeno $C^{1}(\Omega )$ e a supporto compatto. Per le funzioni Lipschitziane vale:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}^{*}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u_{k}(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}

La successione di funzioni $u_{k}$ è convergente in $W^{1,p}(\Omega )$ , e quindi limitata. Quindi la successione $u_{k}^{*}$ è limitata in $W^{1,p}(\Omega )$ . Lo spazio $W^{1,p}(\Omega )$ è uno spazio riflessivo, esiste allora una sottosuccessione debolmente convergente. Cioè esiste $v\in W^{1,p}(\Omega )$ tale che:

u_{k_{j}}^{*}{\overset {W^{1,p}}{\rightharpoonup }}v

e per la semicontinuità della norma in topologia debole:

{\begin{aligned}\|v\|_{W_{1,p}}&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}^{*}\|_{W_{1,p}}\\&\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|u_{k_{j}}\|_{W_{1,p}}\\&=\|u\|_{W_{1,p}}\end{aligned}}

La convergenza debole in $W^{1,p}$ implica la convergenza forte in $L^{p}$ e la convergenza forte implica l'esistenza di una sottosuccessione convergente puntualmente. Quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre $u_{k}^{*}\to v$ puntualmente. Essendo $\Omega$ limitato si ha l'inclusione compatta di $W^{1,p}(\Omega )$ in $L^{p}(\Omega )$ e quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre che anche $u_{k}\to u$ puntualmente. Il limite puntuale delle riarrangiate coincide con la riarrangiata dei limiti puntuali, quindi si ottiene che $v=u^{*}$ .