Disuguaglianza di Prékopa-Leindler

In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

Enunciato della disuguaglianza

Sia 0 < λ < 1 e siano f, g, h : Rⁿ → [0, +∞) due funzioni misurabili a valori reali non negative definite su uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ. Supponiamo che queste funzioni soddisfino

$h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x)^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }$ (equazione 1)

per ogni x e y appartenenti a Rⁿ. Allora

$\|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.\,$

Forma essenziale della disuguaglianza

Ricordiamo che l'estremo superiore essenziale di una funzione misurabile f : Rⁿ → R è definito da

$\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+\infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ per quasi tutti }}x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

Questa notazione consente di enunciare la seguente forma essenziale della disuguaglianza di Prékopa-Leindler: sia 0 < λ < 1 e siano f, g ∈ L¹(Rⁿ; [0, +∞)) due funzioni non negative assolutamente integrabili. Sia

$s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {x-y}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.$

Allora s è misurabile e

$\|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.$

La forma basata sull'estremo superiore essenziale venne presentata in. Il suo utilizzo può cambiare il membro sinistro della disuguaglianza. Per esempio, una funzione g che assume il valore 1 esattamente in un punto, di solito, non produrrà un membro sinistro uguale a zero nella forma non basata sull'estremo superiore essenziale, ma produrrà sempre un membro sinistro uguale a zero nella forma basata sull'estremo superiore essenziale.

Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Si può dimostrare che l'usuale disuguaglianza di Prékopa-Leindler implica la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella forma seguente: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati di Rⁿ tali che la somma di Minkowski (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },$

dove μ denota la misura di Lebesgue n-dimensionale. Quindi, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler può anche essere usata per dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella sua forma più familiare: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati non vuoti di Rⁿ tali che (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}.$

Applicazioni in probabilità e statistica

La disuguaglianza di Prékopa-Leindler risulta utile nella teoria delle distribuzioni logaritmicamente concave, poiché essa può essere usata per mostrare che la concavità logaritmica è conservata dalla marginalizzazione e dalla somma indipendente di variabili casuali distribuite logaritmicamente concave. Supponiamo che H(x,y) sia una distribuzione logaritmicamente concava per (x,y) ∈ R^m × Rⁿ, in modo tale che dalla definizione abbiamo

$H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1},y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda }$ (equazione 2),

mentre M(y) denoti la distribuzione marginale ottenuta dall'integrazione su x:

$M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.$

Siano dati y₁, y₂ ∈ Rⁿ e 0 < λ < 1. Allora l'equazione 2 soddisfa la condizione corrispondente all'equazione 1 con h(x) = H(x,(1 − λ)y₁ + λy₂), f(x) = H(x,y₁) and g(x) = H(x,y₂), così si applica la disuguaglianza di Prékopa-Leindler. Ciò può essere scritto in termini di M come

$M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },$

che è la definizione di concavità logaritmica per M.

Per vedere come questo implichi la conservazione della convessità logaritmica nelle somme indipendenti, supponiamo che X e Y siano variabili casuali indipendenti con distribuzione logaritmicamente concava. Poiché il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo, la distribuzione congiunta di (X,Y) è anche logaritmicamente concava. La concavità logaritmica è conservata da cambiamenti affini di coordinate, dunque anche la distribuzione di (X + Y, X − Y) è logaritmicamente concava. Poiché la distribuzione di X+Y è marginale sulla distribuzione congiunta di (X + Y, X − Y), noi concludiamo che X + Y ha una distribuzione logaritmicamente concava.

Bibliografia

• Richard J. Gardner, The Brunn–Minkowski inequality (PDF), in Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 39, n. 3, 2002, pp. 355–405 (electronic), DOI:10.1090/S0273-0979-02-00941-2, ISSN 0273-0979.
• András Prékopa, Logarithmic concave measures with application to stochastic programming (PDF), in Acta Sci. Math., vol. 32, 1971, pp. 301–316.
• András Prékopa, On logarithmic concave measures and functions (PDF), in Acta Sci. Math., vol. 34, 1973, pp. 335–343.