Eccentricità (matematica)

L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo $e$ che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per $0\leq e<1$ (in particolare circonferenze per $e=0$ ), parabole per $e=1,$ iperboli per $e>1.$ L'eccentricità può essere interpretata come una misura di quanto una sezione conica è lontana dall'essere una circonferenza.

L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.

Definizione

Costruzione geometrica

Fissati nel piano una retta $r$ (direttrice) e un punto $F$ (fuoco) esterno a $r$ , una conica di eccentricità $e>0$ è il luogo dei punti $P$ che hanno distanza dal fuoco pari a $e$ volte la loro distanza dalla direttrice:

d(P,F)=e\cdot d(P,r).

Sezione conica

Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura $\alpha$ (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo $\beta$ con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:

e={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }},\quad 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \beta \leq {\frac {\pi }{2}}.

Classificazione

Ellisse

Per $e<1$ , ovvero $\beta >\alpha$ , si ha un'ellisse, che ha $F$ come uno dei due fuochi.

Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,

l'eccentricità $e$ , l'asse maggiore $2a$ , l'asse minore $2b$ e la distanza interfocale $2c$ sono legati tra loro dalle formule

a^{2}=b^{2}+c^{2},

c=ea,

b^{2}=(1-e^{2})a^{2}.

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

e={\sqrt {1-\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},

e={\frac {c}{a}}.

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto $a/b$ tra i semiassi. In particolare per $e=0$ , ovvero $a=b$ , l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto $F$ ).

Parabola

Per $e=1$ , ovvero $\beta =\alpha$ si ottiene una parabola avente fuoco $F$ e direttrice $r$ : è il luogo dei punti equidistanti da $F$ e da $r$ .

Iperbole

Per $e>1$ , ovvero $\beta <\alpha$ , si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è $F$ .

Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,

con asintoti

y=\pm {\frac {b}{a}}x,

l'eccentricità $e$ , la distanza tra i vertici $2a$ , i coefficienti angolari $\pm b/a$ degli asintoti e la distanza interfocale $2c$ sono legati tra loro dalle formule

a^{2}+b^{2}=c^{2},\qquad b^{2}=(e^{2}-1)a^{2},\qquad c=ea.

Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come

e={\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},\qquad e={\frac {c}{a}}.

L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari $\pm a/b$ degli asintoti.

In particolare per $e={\sqrt {2}}$ , ossia quando l'iperbole è equilatera (cioè $a=b$ ), questo è possibile solo se

{\cos \alpha }={\frac {\cos \beta }{\sqrt {2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}},

ossia solo se ${\alpha }\geq {\frac {\pi }{4}}$ , geometricamente questo avviene solo quando l'angolo formato dalla sezione assiale del cono supera un angolo retto.