Elemento inverso

In matematica, e in particolare in algebra astratta, dato un gruppo $(G,\cdot )$ e un suo elemento $g,$ si definisce elemento inverso (o semplicemente inverso) di $g$ un elemento $h$ appartenente a $G$ tale che:

g\cdot h=h\cdot g=1_{G},

dove $1_{G}$ indica l'elemento neutro del gruppo.

L'elemento inverso di un dato elemento $g$ è unico, infatti se avessimo due inversi $h$ e $h^{*}$ per $g$ , avremmo che $h^{*}=1_{G}\cdot h^{*}=(h\cdot g)\cdot h^{*}=h\cdot (g\cdot h^{*})=h\cdot 1_{G}=h$ . Inoltre, segue immediatamente dalla definizione che se $h$ è l'inverso di $g,$ allora $g$ è l'inverso di $h.$

In notazione additiva, dato il gruppo $(G,+)$ l'elemento inverso associato a $g$ si indica con $-g$ e si chiama di solito opposto. Nella notazione moltiplicativa, nei casi di gruppi numerici, l'elemento inverso si denota anche come reciproco e si indica con $g^{-1}.$

Opposto di un numero

Negli insiemi numerici considerati con l'addizione, l'opposto non esiste qualora l'insieme considerato non contenga numeri negativi. Ad esempio non esiste in $\mathbb {R} ^{+}$ .
In formule, dato un numero $x,$ il suo opposto $x'$ è quel numero tale che:

x+x'=0.

L'opposto di un numero ha sempre il segno contrario a quello del numero stesso: l'opposto di un numero negativo è un numero positivo e viceversa. L'opposto di zero è zero stesso.