Equazione di Lippmann-Schwinger

In meccanica quantistica l'equazione di Lippmann-Schwinger descrive fenomeni di scattering. L'equazione è:

$|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .$

Quest'equazione è nominata in onore di Bernard A. Lippmann e Julian Schwinger.

Derivazione

Si assuma che l'hamiltoniana di un sistema possa essere scritta come:

$H=H_{0}+V$

dove $V$ è il potenziale di interazione e $H_{0}$ è l'hamiltoniana libera (o più in generale, un'hamiltoniana con autovettori noti). Per esempio in meccanica quantistica non relativistica $H_{0}$ può essere:

$H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.$

Richiediamo che i livelli energetici (lo spettro) $E_{\alpha }$ degli stati stazionari del sistema descritto da $H$ e $H_{0}$ siano identici. Ovvero richiediamo che un autovalore di $H_{0}$ sia anche autovalore di $H$.

In particolare per un autostato $|\phi \rangle$ di $H_{0}$ si ha:

$H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .$

Ora se si aggiunge l'interazione $V$ l'equazione di Schrödinger diventa:

$\left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .$

Ora si consideri il teorema di Hellmann-Feynman, che richiede che gli autovalori dell'energia varino in modo continuo con variazioni continue dell'hamiltoniana. Pertanto, vogliamo che $|\psi \rangle \to |\phi \rangle$ quando $V\to 0$.

Una possibile soluzione è:

$|\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .$

Tuttavia $(E-H_{0})$ è singolare dato che $E$ è autovalore di $H_{0}$.

Questa singolarità può essere eliminata aggiungendo una quantità complessa infinitesima (un procedimento di regolarizzazione il cui significato può essere chiarito studiando la teoria delle distribuzioni) ottenendo:

$|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .$

Interpretazioni come stati iniziali e finali

La matrice S

Nella formulazione della fisica delle particelle basata sulla matrice S, alla quale numerosi contributi sono stati dati da John Archibald Wheeler, tutti i processi fisici sono modellati a seconda del seguente paradigma.

Si inizia con uno stato non interagente a molte particelle nel passato distante (ossia $t\to -\infty$). Non interagente non significa che tutte le forze sono state spente, ma che semplicemente stiamo considerando soltanto la parte $H_{0}$ della Hamiltoniana la quale ha gli stessi stati legati dell'Hamiltoniana totale $H$. Lo stato iniziale è chiamato stato "entrante". Intuitivamente si tratta di stati legati che sono abbastanza separati da poter trascurale le loro reciproche interazioni.

L'idea è che qualsiasi processo fisico si stia cercando di studiare possa essere modellato come un processo di scattering di questi stati ben separati. Questo processo è descritto dalla Hamiltoniana totale $H$ ma per tempi abbastanza grandi (ossia quando $t\to +\infty$) il sistema si troverà in nuovi stati legati e quindi in un nuovo stato non interagente che viene chiamato stato "uscente".

Questo approccio permette di calcolare le probabilità dei processi osservati negli acceleratori di particelle.

La connessione all'equazione di Lippmann–Schwinger

Intuitivamente, le autofunzioni leggermente modificate $\psi ^{(\pm )}$ dell'Hamiltoniana totale $H$ sono gli stati entranti e uscenti. Le $\phi$ sono stati non interagenti che somigliano agli stati "entranti" e "uscenti" nell'infinito passato e nell'infinito futuro.

Bibliografia

• Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.
• (EN) S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-67053-5.

Voci correlate

• Equazione di Bethe-Salpeter