Formula di Cauchy-Binet

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato

Siano $A$ e $B$ due matrici rispettivamente di tipo $m\times n$ e $n\times m$. Il loro prodotto $AB$ è quindi una matrice quadrata $m\times m$.

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di $AB$ come:

$\det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S}),$

dove $S$ varia fra i sottoinsiemi con $m$ elementi dell'insieme $\{1,\ldots ,n\}$. Per ogni $S$, la matrice $A_{S}$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $A$ prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a $S$. Analogamente, $B_{S}$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $B$ prendendo solo le righe i cui indici appartengono a $S$.

Proprietà

• Nel caso in cui $m=n$, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
• Se $m>n$, l'insieme $S$ è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
• Se $m<n$, l'insieme $S$ consta di ${\binom {n}{m}}$ elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo

Se $A$ è una matrice reale $m\times n$, il determinante di $A^{t}A$ è uguale al quadrato del volume $m$-dimensionale del parallelotopo in $\mathbb {R} ^{n}$ generato dalle colonne di $A$.

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione $m$. Nel caso $m=1$, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Relazione con il delta di Kronecker generalizzato

La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:

$\det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),$

dove:

$L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )},\qquad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.$

Si ha inoltre:

$\delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.$

Bibliografia

• (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.
• (EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.

Voci correlate

• Determinante
• Moltiplicazione di matrici
• Teorema di Binet

Collegamenti esterni

• (EN) AA. VV., Cauchy Binet formula, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.