Funzionale di Minkowski

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un funzionale di Minkowski è una funzione che richiama il concetto di distanza tipico degli spazi vettoriali.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale reale o complesso $X$ ed un suo sottoinsieme $K$ , si definisce il corrispondente funzionale di Minkowski:

p_{K}:X\rightarrow [0,\infty )

come:

p_{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

Tale funzionale è spesso detto gauge di $K$ .

Si assume implicitamente nella definizione che $0\in K$ e che l'insieme $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto. Affinché $p_{K}$ goda delle proprietà di una seminorma è necessario imporre alcune restrizioni sulla scelta di $K$ :

L'insieme $K$ è un insieme convesso, in modo che $p_{K}$ è subadditiva.
Se $K$ è un insieme bilanciato, ovvero $\alpha K\subset K$ per tutti gli $|\alpha |\leq 1$ , si ha che $p_{K}(\alpha x)=|\alpha |p_{K}(x)$ per ogni $\alpha$ , in modo che $p_{K}$ è omogenea.

Un insieme $K$ con tali proprietà è detto assolutamente convesso.

Ad esempio, si consideri uno spazio normato $X$ con norma $\|\cdot \|$ , e sia $K'$ la sfera unitaria in $X$ . La funzione $p:X\to \mathbb {R}$ data da:

p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK'\right\}

è la norma $p(x)=\|x\|$ su $X$ . Si tratta di un esempio di funzionale di Minkowski.

Convessità e bilanciatezza di K

Il fatto che $K$ è un insieme convesso implica la subadditività di $p_{K}$ . Infatti, si supponga che $p_{K}(x)=p_{K}(y)=r$ . Allora per tutti gli $\epsilon >0$ si ha $x,y\in (r+\epsilon )K=K'$ . L'assunzione che $K$ sia convesso implica che lo è anche $K'$ , e quindi $x/2+y/2\in K'$ . Per definizione di funzionale di Minkowski $p_{K}$ si ha:

p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon

Ma il membro di sinistra è $1/2[p_{K}(x+y)]$ , cioè la precedente relazione diventa:

p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \qquad \forall \epsilon >0

che è la disuguaglianza cercata. Il caso generale $p_{K}(x)>p_{K}(y)$ segue in modo ovvio.

Si nota che la convessità di $K$ , insieme all'assunzione che $\{r>0:x\in rK\}$ non è vuoto, implica che $K$ è un insieme assorbente.

Il fatto che $K$ sia bilanciato implica inoltre che $\lambda x\in rK$ se e solo se $x\in (r/|\lambda |)K$ , e quindi:

p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)

Esempio

Dato uno spazio vettoriale $X$ sul campo $F$ , sia $X'$ il suo duale algebrico e siano $\phi \in X'$ i funzionali lineari definiti su $X$ che lo costituiscono. Si consideri l'insieme $K$ dato da:

K=\{x\in X:|\phi (x)|\leq a\}\qquad a>0

e si definisca:

p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

Allora:

p(x)={\frac {1}{a}}|\phi (x)|

La funzione (non-negativa) $p(x)$ è un esempio di funzionale di Minkowski che è:

subadditivo, ovvero $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ .
omogeneo, ovvero $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ per tutti gli $\alpha \in K$ .

Quindi $p$ è una seminorma su $X$ , che lo munisce di una topologia. Si nota che $p(x)=0$ non implica $x=0$ , e di conseguenza la topologia risultante da una famiglia di tali seminorme non è di Hausdorff.