Funzione di densità di probabilità

In matematica, una funzione di densità di probabilità (o PDF dall'inglese probability density function) è l'analogo della funzione di probabilità di una variabile casuale ma con la condizione che la variabile casuale $X$ sia continua, cioè l'insieme dei possibili valori che ha la potenza del continuo. Essa descrive la "densità" di probabilità in ogni punto nello spazio campionario.

Definizione

La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale $X$ è un'applicazione $p_{X}(x)$ non negativa integrabile secondo Lebesgue e reale di variabile reale tale che la probabilità dell'insieme A sia data da

P(X\in A)=\int _{A}p_{X}(x)\,\mathrm {d} x

per tutti i sottinsiemi A dello spazio campionario. Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità $p_{X}(x)$ , allora l'intervallo $[x,x+\mathrm {d} x]$ ha probabilità $p_{X}(x)\,\mathrm {d} x$ . Da ciò deriva che la funzione $p_{X}(x)$ è un'applicazione definita come

p_{X}({\bar {x}}):{\bar {x}}\mapsto \lim _{\mathrm {d} x\to 0}{\frac {P(x<{\bar {x}}<x+\mathrm {d} x)}{\mathrm {d} x}}

Assumendo $x\equiv {\bar {x}}$ , ciò corrisponde al limite della probabilità che ${\bar {x}}$ si trovi nell'intervallo $[x,x+\mathrm {d} x]$ per $\mathrm {d} x$ che tende a zero. Di cui il nome di funzione di 'densità', in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un'ampiezza.

Per la condizione di normalizzazione l'integrale su tutto lo spazio di $p_{X}(x)$ deve essere 1. Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità. Una variabile casuale che possiede densità si dice "variabile casuale continua".

Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in $\mathbb {R} ^{n}$ , detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme A dello spazio campionario

P(X\in A)=\int _{A}p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}

Essa conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio. Una proprietà importante è che se $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale. La densità di una componente, detta densità marginale, si ottiene con un ragionamento analogo al teorema della probabilità assoluta, cioè fissando l'insieme di suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e lasciando libere di variare tutte le altre componenti. Infatti (nel caso bivariato per semplicità) l'evento $(X\in A)$ è l'evento $(X\in A,Y\in \mathbb {R} )$ , dunque

P(X\in A)=\int _{A\times \mathbb {R} }p_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{A}\left(\int _{\mathbb {R} }p_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x

utilizzando il teorema di Fubini. La densità marginale di $X$ è data dunque da

p_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }p_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y

.

Esempi

La funzione di densità della variabile casuale normale di media 0 e varianza 1 (detta normale standard), di cui a destra è riportato il grafico e l'espressione analitica della corrispondente densità nel caso generico (media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}$ ).

Un altro esempio può essere dato dalla densità di probabilità uniforme su un segmento (0,1). Si può verificare immediatamente che è densità di probabilità facendo l'integrale tra (0,1).