Funzione polidroma

In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una relazione simile per alcuni aspetti a una funzione (in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio) ma che a differenza di quest'ultima può avere più valori, cioè a ogni elemento del dominio è associato almeno un elemento del codominio. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa.

Definizione

Siano $X$ e $Y$ due insiemi. Una funzione polidroma da $X$ in $Y$ è una funzione

f\colon X\to P(Y),

che associa ad ogni elemento di $X$ un sottoinsieme non vuoto di $Y$ (qui $P(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$ ).

Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $X\times Y$ tale che per ogni $x$ in $X$ esiste almeno un $y$ in $Y$ per cui $(x,y)\in R$ (cioè una relazione binaria tra $X$ e $Y$ "totale a sinistra").

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta monodroma. In questo caso, $f(x)$ è formato da un elemento solo per ogni $x$ . Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una e una sola immagine, associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del codominio.

Differenza con le funzioni a valori vettoriali

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e funzioni vettoriali, cioè a valori nel prodotto cartesiano di $n$ copie di $Y$ , distinguendo due differenze fondamentali:

una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso a $n$ poiché sono vettori di $Y^{n}$ ; al contrario, una funzione polidroma ha valori di cardinalità variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di $Y$ .
una funzione vettoriale ha come immagini ennuple ordinate, mentre le funzioni polidrome danno come immagini degli insiemi, che notoriamente sono indipendenti dall'ordine in cui si enumerano i suoi elementi.

Analisi complessa

Radice ennesima

La più semplice e immediata funzione polidroma è la radice ennesima di una variabile complessa:

{\sqrt[{n}]{z}},\quad n\in \mathbb {Z} ,

intesa come inversa della funzione monodroma $z^{n}$ . Usando la rappresentazione polare $z=\rho e^{i\theta }$ e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento $0\leq \theta <2\pi$ affinché il numero sia ben definito abbiamo:

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot {\sqrt[{n}]{e^{i\theta +i2k\pi }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left(e^{\frac {i\theta +i2k\pi }{n}}\right).

Si vede chiaramente che ${\sqrt[{n}]{\rho }}$ è ben definito (ovviamente $\rho \geq 0$ ), ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima:

\arg({\sqrt[{n}]{z}})={\frac {\theta +2k\pi }{n}},

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se $z^{n}$ è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno $n$ valori, in corrispondenza degli $n$ valori dell'argomento di ${\sqrt[{n}]{z}}$ . Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire $n$ giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra $n$ ed $n+1$ .

Logaritmo

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

\operatorname {Log} z=\log |z|+i\theta +i2k\pi

cioè la branca principale del logaritmo, dove $\theta$ è la fase per $0<\theta <2\pi$ che assume gli infiniti valori: $\log z=\operatorname {Log} z+n\cdot 2\pi i$ . Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

A partire dal logaritmo si può definire anche in campo l'esponenziazione a qualsiasi base come la funzione polidroma

z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}

Argomento

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

\arg(z)=\left\{y\in \mathbb {R} :e^{iy}={\frac {z}{|z|}}\right\},

per ogni numero complesso non nullo $z$ . Ricordiamo che questa definizione ha senso poiché l'esponenziale complesso ristretto ai numeri puramente immaginari, cioè del tipo $i\cdot y$ , assume valori nella sfera unitaria $S^{1}$ .

Sempre dalle proprietà dell'esponenziale si ricava che risulta, se $y_{0}$ è un particolare valore dell'argomento di $z$ ,

\arg(z)=\{y_{0}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}.

Altre caratteristiche della polidromia

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine $n$ , se compiendo $n+1$ giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro $z_{0}$ di raggio $|z_{0}|$ :

\log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\left({\frac {z-z_{0}}{z_{0}}}\right)^{n}.

Funzioni polidrome reali

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle funzioni trigonometriche: esse sono periodiche, quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità numerabile di valori.

Rami e valori principali

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come funzioni inverse di qualche altra applicazione (la potenza per le radici, l'esponenziale per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza $y\mapsto f^{-1}(y)$ non genera un elemento, ma un insieme: esso è vuoto se $y$ non è parte dell'immagine di $f$ , è un singleton per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

In ognuno di questi casi, per giungere da una funzione multivoca ad una monodroma e utilizzare gli strumenti usuali della matematica, si è scelta per convenzione (o per altri motivi) una singola controimmagine da associare a $y$ : nel caso della radice reale, la scelta cade su $+{\sqrt {x}}$ ; nel logaritmo complesso viene scelto il valore $\log z$ tale che $0<\arg(z)<2\pi$ ; nell'arcoseno l'angolo scelto è sempre quello compreso tra $-\pi /2$ e $\pi /2$ e così via.

Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme $f^{-1}(y)$ viene detto ramo dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il ramo principale e il valore che esso assume valore principale. Ad esempio, sempre per il seno: i rami di $f^{-1}(y)$ sono $x=\arcsin y$ , $x=\arcsin y+2\pi$ , $x=\arcsin y+4\pi$ , eccetera, e il valore principale di $f^{-1}(1)$ è $\pi /2$ , mentre gli altri suoi valori non principali sono ${5\pi \over 2},{9\pi \over 2},{13\pi \over 2},\dots$ .

Esistono teoremi che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la continuità di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Funzione polidroma, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Multivalued Function, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4270772-9

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