Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Definizione

Siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f$ definita su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_{x}$ definita in $Y$ nel seguente modo:

$f_{x}(y)=f(x,y)\$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_{y}$ tale che:

$f_{y}(x)=f(x,y)\$

Entrambe le funzioni sono rispettivamente ${\mathfrak {F}}$-misurabile e ${\mathfrak {G}}$-misurabile.

Per ogni insieme aperto $V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ si definisce inoltre:

$Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}$

Si dimostra che se:

$\phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y$

allora $\phi$ è ${\mathfrak {F}}$-misurabile e $\psi$ è ${\mathfrak {G}}$-misurabile, e si ha:

$\int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda \$

Si definisce la misura $\mu \times \lambda$ prodotto delle due misure $\mu$ e $\lambda$ l'integrale:

$(\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)$

Tale misura è definita sullo spazio $(X\times Y,{\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}})$ ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

$(\mu \times \lambda )(B_{1}\times B_{2})=\mu (B_{1})\lambda (B_{2})\qquad \forall B_{1}\in {\mathfrak {F}},\ B_{2}\in {\mathfrak {G}}$

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ che $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale $\mathbb {R}$.

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Il Teorema di Fubini

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$. Siano $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ e $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f(x,y)$ che sia ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$-misurabile su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_{x}$ definita in $Y$ nel seguente modo:

$f_{x}(y)=f(x,y)\$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_{y}$ tale che:

$f_{y}(x)=f(x,y)\$

Se la funzione $f$ è positiva e se:

$\phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu$

allora $\phi$ è ${\mathfrak {F}}$-misurabile e $\psi$ è ${\mathfrak {G}}$-misurabile, inoltre:

$\int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda$

In modo equivalente si può scrivere:

$\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\$

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Michel Loève, 8.2. Product measures and iterated integrals, in Probability Theory vol. I, 4th, Springer, 1977, pp. 135–137, ISBN 0-387-90210-4.
• Paul Halmos, 35. Product measures, in Measure theory, Springer, 1974, pp. 143–145, ISBN 0-387-90088-8.
• (EN) product measure, in PlanetMath.

Voci correlate

• Integrale di Lebesgue
• Misura (matematica)
• Teorema di disintegrazione
• Teorema di Fubini

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Misura prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.