Modulo artiniano

In matematica, un modulo artiniano è un modulo su un anello $A$ tale che l'insieme dei suoi sottomoduli soddisfa la condizione della catena discendente. Un anello che è un modulo artiniano su sé stesso è detto anello artiniano; entrambe le nozioni prendono nome da Emil Artin.

La definizione di modulo artiniano è in un certo senso duale a quella di modulo noetheriano.

Definizione

Sia $M$ un modulo sinistro su un anello $A$. $M$ è un modulo artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli

$N_{0}\supseteq N_{1}\supseteq \cdots \supseteq N_{i}\supseteq \cdots$

si stabilizza, ovvero se esiste un indice $\alpha$ tale che $N_{\alpha }=N_{i}$ per ogni $i>\alpha$. Analoghe definizioni valgono se $M$ è un modulo destro.

Se $M=A$ è artiniano con la struttura di $A$-modulo sinistro (ovvero quella in cui i sottomoduli sono i suoi ideale sinistri) allora $M$ è detto anello artiniano sinistro; analogamente, è detto anello artiniano destro se è artiniano come $A$-modulo destro. Nel caso in cui $A$ sia contemporaneamente artiniano sinistro e destro è detto semplicemente "artiniano".

Esempi e proprietà

Ogni modulo finito è artiniano (in quanto contiene solo un numero finito di sottomoduli).

Se $M$ è un modulo artiniano, allora ogni suo sottomodulo e ogni suo quoziente è ancora artiniano; inoltre, la somma diretta di un numero finito di moduli artiniani è ancora artiniana. Ad esempio, se $K$ è un campo, allora ogni spazio vettoriale (ovvero ogni $K$-modulo) di dimensione finita è un modulo artiniano (essendo la somma diretta di una quantità finita di copie di $K$).

Data una successione esatta

$0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0$,

$M$ è un modulo artiniano se e solo se lo sono sia $L$ che $N$.

Ogni modulo artiniano finitamente generato su un anello commutativo è noetheriano. Questa proprietà non è valida in generale: ad esempio, il gruppo di Prüfer $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ (isomorfo, ad esempio, al gruppo moltiplicativo di tutte le radici $p^{n}$-esime dell'unità, con $p$ primo fissato e $n$ che varia tra i numeri naturali) è uno $\mathbb {Z}$-modulo artiniano ma non noetheriano. Un modulo è contemporaneamente artiniano e noetheriano se e solo se ha lunghezza finita.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.