Numero primo di Wieferich

In matematica, un primo di Wieferich è un numero primo p tale che p² divide 2^{p − 1} − 1; si confronti questo con il piccolo teorema di Fermat, secondo cui ogni primo p divide 2^{p − 1} − 1. I primi di Wieferich vennero descritti per la prima volta nel 1909 da Arthur Wieferich, in lavori riguardanti l'ultimo teorema di Fermat.

La ricerca dei primi di Wieferich

Gli unici primi di Wieferich conosciuti sono 1093 e 3511, trovati rispettivamente da W. Meissner nel 1913 e N. G. W. H. Beeger nel 1922; se ne esistono altri, devono essere > 1,25×10¹⁵. Si è congetturato che esista solo una moltitudine finita di primi di Wieferich; la congettura è tutt'oggi indimostrata, anche se J. H. Silverman nel 1988 fu in grado di dimostrare che se la congettura abc regge, allora per ogni intero positivo a > 1, esiste una moltitudine infinita di primi p tali che p² non divide a^{p − 1} − 1.

Proprietà dei primi di Wieferich

• Primi di Wieferich e numeri di Mersenne.

Un numero di Mersenne è definito come M_q = 2^q −1 (dove q è primo) e per il piccolo teorema di Fermat si sa che M_p−1 (= 2^p−1−1) è sempre divisibile per un primo p.

Inoltre, può essere che, con q che è un fattore primo di p−1 anche M_q < M_p−1 sia divisibile per p.

Dalla definizione di primo di Wieferich w si ha che 2^w−1 −1 sia divisibile per w² e non solo per w.

Ora q può essere un fattore di w−1, e M_q è ancora divisibile per w; quindi la domanda che sorge è se esiste un numero di Mersenne M_q, che sia anche divisibile per w² o possa essere esso stesso un primo di Wieferich.

Si può anche mostrare che

se w² divide 2^w−1−1, e w dividesse M_q (= 2^q−1), dove q è il divisore primo di w−1

allora anche w² deve dividere M_q; quindi M_q conterrebbe un quadrato (e non potrebbe essere primo).

I due primi di Wieferich noti w=1093 e w=3511, non soddisfano la condizione di dividere un numero di Mersenne M_q con esponente primo q; quindi

nessun primo di Wieferich è un fattore di un numero di Mersenne.

Ma che questo sia impossibile in generale non è attualmente noto; una versione più generale di questa domanda è: I numeri di Mersenne sono tutti interi privi di quadrati?

Poiché qualsiasi M_q contenente un primo di Wieferich w deve anche contenere w², ne segue immediatamente che non sarà primo. Quindi

un primo di Mersenne non può essere un primo di Wieferich.

• Generalizzazione ciclotomica

Per una generalizzazione ciclotomica della proprietà di Wieferich (n^p−1)/(n−1) divisibile per w² esistono soluzioni come

(3⁵ - 1)/(3-1) = 11²

e anche esponenti superiori a 2 come in

(19⁶ - 1)/(19-1) divisibile per 7³

• Inoltre, se w è un primo di Wieferich, allora 2^w2 = 2 (mod w²).

Primi di Wieferich e Ultimo teorema di Fermat

Il seguente teorema che collega i primi di Wieferich e l'ultimo teorema di Fermat venne dimostrato da Wieferich nel 1909:

Sia p un numero primo, e siano x, y, z interi tali che x^p + y^p + z^p = 0. Si assuma inoltre che p non divida il prodotto xyz. Allora p è un primo di Wieferich.

Nel 1910, Mirimanoff fu in grado di espandere il teorema mostrando che, se le precondizioni del teorema sono vere per qualche primo p, allora p² deve dividere anche 3^{p − 1}. I numeri primi di questo tipo sono stati talvolta chiamati primi di Mirimanoff, ma il nome non è entrato nella terminologia matematica generalmente in uso.

Bibliografia

• A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
• N. G. W. H. Beeger, "On a new case of the congruence 2^{p − 1} = 1 (p²), Messenger of Math, 51 (1922), 149-150
• W. Meissner, "Über die Teilbarkeit von 2p^p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin (1913), 663-667
• J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30:2 (1988) 226-237

Voci correlate

• Primo di Wilson
• Primo di Wall-Sun-Sun
• Primo di Wolstenholme

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wieferich, su MathWorld, Wolfram Research.
• Il glossario dei primi: primo di Wieferich, su primes.utm.edu.
• Stato della ricerca per i primi di Wieferich, su loria.fr.
• Wieferich@Home, su elmath.org. URL consultato il 27 aprile 2019 (archiviato dall'url originale il 1º aprile 2009).