Podaria

In geometria, la podaria di un curva rispetto ad un punto $P$ detto polo è il luogo geometrico formato dalle proiezioni di $P$ sulle rette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle normali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche antipodaria.

Equazione della podaria

Siano date le equazioni parametriche della curva $\Gamma$ :

\left\{{\begin{matrix}x&=&f(t)\\y&=&g(t),\end{matrix}}\right.

dove $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili su un intervallo $I\in \mathbb {R}$ . La tangente di $\Gamma$ nel suo punto $\left(f(t),g(t)\right)$ ha equazione

y-g(t)={\frac {g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}}\left(x-f(t)\right).

La proiezione di $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per $P$ :

y-y_{0}=-{\frac {f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}}\left(x-x_{0}\right).

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

\left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {x_{0}f^{\prime 2}(t)+(y_{0}-g(t))f^{\prime }(t)g^{\prime }(t)+f(t)g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)}}\\y&=&{\frac {g(t)f^{\prime 2}(t)+(x_{0}-f(t))g^{\prime }(t)f^{\prime }(t)+y_{0}g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)}},\end{matrix}}\right.

Casi particolari

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

Podaria della circonferenza

La podaria di una circonferenza è la lumaca di Pascal.

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e centro nel punto $(1,0)$ , di equazioni parametriche:

\left\{{\begin{matrix}x&=&1+\cos t\\y&=&\sin t.\end{matrix}}\right.

Possiamo limitarci a considerare i poli $P(a,0)$ , posti sull'asse delle ascisse, con $a\leq 1$ . Le equazioni della podaria sono allora:

\left\{{\begin{matrix}x&=&\cos t(1+\cos t)+a\sin ^{2}t=a+\cos t+(1-a)\cos ^{2}t\\y&=&\sin t(1+\cos t)-a\sin t\cos t=\sin t+(1-a)\sin t\cos t.\end{matrix}}\right.

I casi possibili sono:

$P$ è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
$P$ è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
$P$ è sulla circonferenza: la podaria è una cardioide;
$P$ è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

Podaria della parabola

Consideriamo la parabola di equazione $y=x^{2}$ ; le sue equazioni parametriche sono $x=t$ e $y=t^{2}$ ; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo $P(0,a)$ che giace sull'asse della parabola:

\left\{{\begin{matrix}x&=&{\frac {2t(a+t^{2})}{1+4t^{2}}}\\y&=&{\frac {t^{2}(4a-1)}{1+4t^{2}}}.\end{matrix}}\right.

Alcune podarie notevoli sono:

$a=1/4$ : il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
$a=0$ : il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una cissoide di Diocle;
$a=-3/4$ : il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la trisettrice di Mac Laurin.