Problema di Thomson

L'obiettivo del problema di Thomson è di determinare la configurazione di minima energia potenziale elettrica di $N$ elettroni vincolati sulla superficie di una sfera unitaria e che si respingono a causa della forza di Coulomb. Il problema fu posto da J. J. Thomson nel 1904 dopo aver proposto un modello atomico, successivamente chiamato modello a panettone, basato sul fatto che gli elettroni sono carichi negativamente mentre gli atomi sono neutri .

Problema relativi includono lo studio della geometria della configurazione di minima energia e lo studio del comportamento per $N$ molto grandi.

Enunciato matematico

Il sistema fisico relativo al problema di Thomson è un caso speciale di uno dei diciotto problemi irrisolti proposti dal matematico Stephen Smale — "Distribuzione di punti su una 2-sfera". La soluzione per ogni $N$ è ottenuta quando la configurazione degli elettroni vincolati sulla superficie della sfera di raggio $r=1$ possiede un minimo globale della energia potenziale elettrica, $U(N)$.

L'energia di interazione elettrostatica tra ogni coppia di elettroni di uguale carica ($e_{i}=e_{j}=e$, con $e$ la carica elementare dell'elettrone) è data dalla legge di Coulomb,

$U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.$

Qui, $k_{e}$ è la costante di Coulomb e $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ è la distanza fra ogni coppia di elettroni collocati in punti della sfera definiti dai vettori $\mathbf {r} _{i}$ e $\mathbf {r} _{j}$, rispettivamente.

Senza perdita di generalità, si possono usare unità più semplici in cui $e=1$ e $k_{e}=1$. Allora,

$U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.$

L'energia potenziale elettrica di ogni configurazione di $N$ allora può essere espressa come la somma delle interazioni fra tutte le coppie

$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.$

Il minimo globale di $U(N)$ su tutte le possibili collezioni di $N$ punti distinti è tipicamente trovata attraverso algoritmi di minimizzazione numerica.

Esempio

La soluzione del problema di Thomson per due elettroni è ottenuto quando entrambi gli elettroni sono il più lontano possibile su punti opposti rispetto all'origine, $r_{ij}=2r=2$, o

$U(2)={1 \over 2}.$

Principali soluzioni conosciute

Soluzione schematiche del problema matematico di Thomson fino a $N$ elettroni

Le configurazioni di minima energia sono state rigorosamente trovate solo in una manciata di casi.

• Per $N=1$, la soluzione è banale poiché l'elettrone può collocarsi in ogni punto sulla superficie della sfera. L'energia totale della configurazione è definita zero dal momento che non è soggetto a nessun campo elettrico prodotto da altre cariche.
• Per $N=2$, la configurazione ottimale consiste di elettroni in punti antipodali.
• Per $N=3$, gli elettroni risiedono ai vertici di un triangolo equilatero inscritto in una cerchio massimo.
• Per $N=4$, gli elettroni risiedono ai vertici di un tetraedro regolare.
• Per $N=5$, fu riportata nel 2010 una soluzione rigorosa fornita dal computer con gli elettroni collocati ai vertici di un dipiramide triangolare.
• Per $N=6$, gli elettroni stanno sui vertici di un ottaedro regolare.
• Per $N=12$, gli elettroni risiedono ai vertici di un icosaedro regolare.

Si nota che le soluzioni geometriche per il problema di Thomson nei casi di $N=4$, $6$ e $12$ elettroni sono conosciute come solidi platonici le cui facce sono triangoli equilateri. Soluzioni numeriche per $N=8$ e $20$ non sono i rimanenti poliedri regolari dei solidi platonici, le cui facce sono quadrati e pentagoni, rispettivamente.

Generalizzazioni

Si potrebbe anche richiedere lo stato fondamentale di particelle interagenti con potenziali arbitrari. Per essere matematicamente precisi, sia $f$ una funzione decrescente a valori reali, e si definisce l'energia funzionale come $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Tradizionalmente, si considera $f(x)=x^{-\alpha }$ anche conosciute come $\alpha$-nuclei di Riesz. Per nuclei di Riesz integrabile vedere; per nuclei non integrabili, vale il teorema del bagel ai semi di papavero, si veda. I casi rilevanti sono: $\alpha \to \infty$, il problema di Tammes (impacchettamento); $\alpha =1$, il problema di Thomson; $\alpha =0$, il problema di Whyte (per massimizzare il prodotto di distanze).

Si può anche considerare la configurazione di $N$ punti su una sfera di maggiore dimensione.

Relazione ad altri problemi scientifici

Il problema di Thomson è una naturale conseguenza del modello a panettone in assenza della carica positiva uniformemente distribuita nell'atomo.

Sebbene le evidenze sperimentali portarono all'abbandono del modello di Thomson sulla struttura atomico, sono state trovate irregolarità nelle soluzioni numeriche del problema di Thomson che corrispondono al riempimento del guscio elettronico negli elementi naturali della tavola periodica.

Il problema di Thomson ha un ruolo importante nello studio di altri modelli fisici, inclusi nelle bolle multi-elettroniche e la disposizione superficiale delle gocce di un metallo liquido confinate nella trappola ionica di Paul.

Il problema di Thomson generalizzato compare, per esempio, nel determinare la disposizione delle subunità proteiche che si trovano nei gusci di virus sferici. Le "particelle" in questa applicazione sono un gruppo di subunità collocato su un guscio. Altre realizzazioni includono la sistemazione regolare di particelle colloidale nei colloidosomi, proposti per l'incapsulamento di principi attivi come farmaci, nutrienti o cellule viventi, la disposizione degli atomi di Carbonio nel fullerene e la teoria VSEPR. Un esempio con interazioni logaritmiche a lungo raggio è fornito dai vortici di Abrikosov che si formano a basse temperature nei gusci metallici superconduttori con un grande monopolo al centro.

Configurazioni di minima energia conosciute

Nella seguente tabella $N$ è il numero di punti (cariche) in una configurazione, $E_{1}$ è l'energia, il tipo di simmetria è dato nel Sistema Schoenflies (vedere gruppo puntuale), e $r_{i}$ sono le posizioni delle cariche. Molti tipi di simmetria richiedono che la somma vettoriale delle posizioni (e quindi il momento di dipolo elettrico) sia zero.

È consueto anche considerare il poliedri formati dall'inviluppo convesso dei punti. Perciò, $v_{i}$ è il numero di vertici in cui si incontrano un determinato numero di spigoli, '$e$ è il numero totale di spigoli, $f_{3}$ è il numero di facce triangolari, $f_{4}$ è il numero di facce quadrilatere e $\theta _{1}$ il più piccolo angolo sotteso dai vettori associati alla coppia di cariche più vicina. Si noti che di solito gli spigoli non sono tutti della stessa lunghezza; pertanto (eccetto nei casi $N=4$, $6$, $12$ e $24$) l'inviluppo convesso è solo topologicamente equivalente ad un poliedro uniforme o un solido di Johnson elencati nell'ultima colonna.

N	$E_{1}$	Simmetria	$\left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Poliedro equivalente
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	digono
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	1	–	120.000°	triangolo
4	3.674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	tetraedro
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	dipiramide triangolare
6	9.985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	ottaedro
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	dipiramide pentagonale
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	antiprisma quadrato
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	prisma traingolare triaumentato
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	dipiramide giroelongata quadrata
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	icosaedro con spigoli contratti
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	icosaedro
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	dipiramide giroelongata esagonale
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	cubo simo
25	243.812760299	$C_{s}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_{2}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°
33	440.204057448	$C_{s}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_{2}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_{s}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_{3}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_{3}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	$C_{2}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	$C_{2}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	$C_{2}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	$C_{1}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	$C_{2}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	$C_{2}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	$C_{2}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°
73	2320.633883745	$C_{2}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	$C_{2}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	$C_{2}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	$C_{s}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	$C_{2}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	$C_{2}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	$C_{2}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	$C_{2}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	$C_{2}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	$C_{2}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	$C_{2}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	$C_{2}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	$C_{2}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	$C_{2}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	$C_{2}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	$C_{2}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	$C_{2}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	$C_{2}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°

Bibliografia

• (EN) Henry Cohn e Abhinav Kumar, Universally optimal distribution of points on spheres, in J. Amer. Math. Soc. 20, n. 1, 2007, p. 99–148.
• (EN) Peter D. Dragnev, D. A. Legg e D. W. Townsend, Discrete logarithmic energy on the sphere, in Pacific J. Math. 207, n. 2, 2002, p. 345–358.
• (EN) T. Erber e G. M. Hockney, Complex Systems: Equilibrium Configurations of $N$ Equal Charges on a Sphere $(2\leq N\leq 112)$, in Advances in Chemical Physics, Volume 98, 1997, pp. 495–594.
• Cris Cecka, Mark J. Bowick, e Arthur A. Middleton: http://thomson.phy.syr.edu/ Archiviato il 9 aprile 2018 in Internet Archive.
• David J. Wales e Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html e anche http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson2/table.html

Voci correlate

• Modello atomico di Thomson
• Teoria VSEPR
• Classe di simmetria
• Impacchettamento di sfere