Relazione di Poisson

La relazione di Poisson è un operatore lineare che mette in relazione la derivata di un vettore rispetto a sistemi di riferimento in moto rotatorio relativo.

Teorema

Sia u un generico vettore, e siano dati due sistemi di riferimento, di cui uno fisso e l'altro in rotazione rispetto al primo. Allora, tra le derivate del vettore nei due sistemi di riferimento esiste la seguente relazione:

$\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}=\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{2}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}$

dove il termine con indice 1 rappresenta la derivata calcolata nel sistema fisso, mentre il termine con indice 2 la derivata calcolata nel sistema rotante. La grandezza ω rappresenta in questo caso la rapidità con cui varia l'angolo tra i due sistemi di riferimento, ovvero la velocità angolare relativa.

Dimostrazione

Sia dato un vettore u nello spazio, e sia A_θ la matrice di rotazione. Allora esiste una base dello spazio nella quale la matrice può essere espressa come:

$A_{\theta }=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

Tale matrice trasforma le coordinate del sistema fisso in quelle del sistema rotante. Inoltre, l'argomento θ che compare nell'espressione della matrice è una funzione della variabile t.

Un vettore può dunque essere espresso come combinazione lineare degli elementi delle due basi:

${\mathbf {u} }=u_{x}{\mathbf {i} }+u_{y}{\mathbf {j} }+u_{z}{\mathbf {k} }$

${\mathbf {u} }=u'_{x}{\mathbf {i'} }+u'_{y}{\mathbf {j'} }+u'_{z}{\mathbf {k'} }$

con i versori accentati rappresentanti la base del sistema rotante. Derivando la prima forma si ottiene:

${\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}={\frac {{\mbox{d}}u_{x}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {i} +{\frac {{\mbox{d}}u_{y}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {j} +{\frac {{\mbox{d}}u_{z}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {k} =:\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}$

che esprime la derivata del vettore u nel sistema fisso.

Ora i versori del sistema rotante possono essere determinati servendosi della matrice di rotazione:

$\left({\begin{matrix}\mathbf {i} ^{\prime }\\\mathbf {j} ^{\prime }\\\mathbf {k} ^{\prime }\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {i} \\\mathbf {j} \\\mathbf {k} \end{matrix}}\right)\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}\mathbf {i} ^{\prime }=\mathbf {i} \cos \theta +\mathbf {j} \sin \theta \\\mathbf {j} ^{\prime }=-\mathbf {i} \sin \theta +\mathbf {j} \cos \theta \\\mathbf {k} ^{\prime }=\mathbf {k} \end{cases}}$

Derivando ora la seconda forma di u si ha:

${\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}={\frac {{\mbox{d}}u_{x}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {i} ^{\prime }+{\frac {{\mbox{d}}u_{y}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {j} ^{\prime }+{\frac {{\mbox{d}}u_{z}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {k} ^{\prime }+u_{x}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {i} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}+u_{y}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {j} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}+u_{z}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {k} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}$

I primi tre termini sono, per definizione, la derivata del vettore u calcolata nel sistema rotante; i rimanenti tre termini possono essere riscritti come:

${\dot {\theta }}(u_{x}^{\prime }\mathbf {j} ^{\prime }-u_{y}^{\prime }\mathbf {i} ^{\prime })$

Tuttavia, si riconosce che, detto ${\dot {\theta }}=\omega$, tale espressione è impropriamente il determinante della matrice:

${\begin{vmatrix}\mathbf {i} ^{\prime }&\mathbf {j} ^{\prime }&\mathbf {k} ^{\prime }\\0&0&{\dot {\theta }}\\u_{x}^{\prime }&u_{y}^{\prime }&u_{z}^{\prime }\end{vmatrix}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}$

In definitiva, uguagliando le due espressioni si ottiene la tesi:

$\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}=\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{2}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}$

La linearità della relazione discende evidentemente dalla linearità dell'operatore di derivata.

Applicazioni

Al corpo rigido

Si consideri più generalmente un sistema di riferimento con assi ortonormali secondo convenzione levogira S' solidale con un corpo rigido, e in moto rispetto ad un sistema dotato di medesima base ortonormale, ma fisso.

Sia allora A la matrice le cui colonne sono composte dai vettori della base di S' misurati in S. Allora, per la derivata di tale matrice vale la seguente relazione:

${\dot {A}}=AB$

dove B è una matrice antisimmetrica.

Dimostrazione

Poiché A è ortogonale, essa soddisfa la proprietà

$A^{T}A=\operatorname {Id}$

Derivando tale espressione si ottiene

${\dot {A}}^{T}A+A^{T}{\dot {A}}=0$

e, detta B la matrice

$B=A^{T}{\dot {A}}$

si verifica che B = -B^T, dunque B è antisimmetrica. Moltiplicando tale matrice per A si ricava

$AB=AA^{T}{\dot {A}}\quad \Rightarrow {\dot {A}}=AB$

Sarà allora:

$\operatorname {D} {\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-\alpha &\beta \\\alpha &0&-\gamma \\-\beta &\gamma &0\end{pmatrix}}$

Ora, come già visto in precedenza, la derivata di un versore è direttamente proporzionale alla rapidità con cui esso varia la sua direzione, e quindi alla sua velocità angolare lungo la direzione degli altri versori. Ne consegue che i coefficienti della matrice antisimmetrica saranno delle velocità angolari. Sia allora ω il vettore

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}$

Dal calcolo di ω × i' si ha:

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {i} '={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\\1&0&0\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\omega _{3}\\-\omega _{2}\end{pmatrix}}$

mentre dal calcolo di ω × j' discende che:

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {j} '={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\\0&1&0\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}-\omega _{3}\\0\\\omega _{1}\end{pmatrix}}$

Da ciò si conclude che α = ω₃, β = ω₂ e γ = ω₁. La relazione di Poisson diventa allora

$\operatorname {D} {\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {i} '&{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {j} '&{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {k} '\end{pmatrix}}$

Per descrivere la posizione di un corpo rigido solidale al sistema S' rispetto al sistema S si considerano i vettori posizione di un generico punto P del corpo rigido

$\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{OO'}+\mathbf {r'} _{P}$

Derivando, e applicando la relazione di Poisson appena ricavata, si determina

$\mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{OO'}+\mathbf {v'} _{P}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r'} _{P}$