Semigruppo di contrazione

In analisi matematica, un semigruppo $C_{0}$ $\Gamma (t),\ t\geq 0$ è detto semigruppo di contrazione se $\|\Gamma (t)\|\leq 1$ per ogni $t\geq 0$. $\Gamma (t)$ sarà invece detto semigruppo di quasicontrazione se esiste una costante $\omega$ tale che $\|\Gamma (t)\|\leq e^{\omega t}$ per ogni $t\geq 0$.

Esempio 1: Semigruppo di moltiplicazione

Sia $(X,\Sigma ,m)$ uno spazio di misura $\sigma$-finito. Considerando una funzione $\varphi :X\to [0,\infty )$, si definisca l'operatore $S(t)$ su $L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,m)$ come $S(t)f(x)=e^{-t\varphi (x)}f(x).$ Si avrà:

$\left\|S(t)f\right\|=\int _{X}\left|e^{-t\varphi (x)}f(x)\right|m(dx)\leq \int _{X}\left|f(x)\right|m(dx)=\left\|f\right\|$

per ogni $f\in L^{1}$ e $t\geq 0$. Pertanto $\{S(t)\}_{t\geq 0}$ è un semigruppo su $L^{1}$. Dal teorema della convergenza dominata segue che

$\lim _{t\downarrow 0}\left\|S(t)f-f\right\|=\int _{X}\lim _{t\downarrow 0}\left|e^{-t\varphi (x)}f(x)-f(x)\right|m(dx)=0$

per ogni $f\in L^{1}$, dunque $\{S(t)\}_{t\geq 0}$ è un semigruppo fortemente continuo, nonché contrattivo.

Esempio 2: Semigruppo di traslazione

Sia $X$ lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su $\mathbb {R}$, $L^{1}(\mathbb {R} )$. Si definisce l'operatore di traslazione $S(t)$ su $X$ come $S(t)f(x)=f(x-t),\;\;x\in \mathbb {R} ,\;\;t\geq 0.$

$\{S(t)\}_{t\geq 0}$ è un semigruppo su $X$ e, per ogni $f\in X=L^{1}(\mathbb {R} )$, si ha

$\|S(t)f\|=\int _{\mathbb {R} }|f(x-t)|dx=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|dx=\|f\|.$

Dunque $\{S(t)\}_{t\geq 0}$ è un semigruppo contrattivo su $L^{1}(\mathbb {R} )$.

Bibliografia

• (EN) Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503
• (EN) Rudnicky, Ryszard; Tyran-Kamińska, Marta. Piecewise Deterministic Processes in Biological Models. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-61295-9

Voci correlate

• Teorema di Hille-Yosida
• Teorema di Lumer-Phillips
• Contrazione