Teorema di Gauss-Lucas

In analisi complessa, una branca della matematica, il teorema di Gauss–Lucas fornisce un relazione geometrica tra le radici di un polinomio $P$ e le radici della sua derivata $P'$ . L'insieme delle radici di un polinomio reale o complesso è un insieme di punti nel piano complesso. Il teorema afferma che le radici di $P'$ giacciono tutte all'interno dell'inviluppo convesso delle radici di $P$ , cioè il più piccolo poligono convesso che contiene le radici di $P$ . Quando $P$ ha una radice singola allora il suo inviluppo convesso è un solo punto, mentre quando gli zeri giacciono su una retta allora l'inviluppo è un segmento appartenente a tale retta. Il teorema di Gauss–Lucas, che deve il suo nome a Carl Friedrich Gauss e Félix Lucas, è molto simile per certi versi al teorema di Rolle.

Enunciato

Sia $P$ è un polinomio (non costante) a coefficienti complessi, allora tutte le radici di $P'$ appartengono all'inviluppo convesso dell'insieme degli zeri di $P$ .^[1]

Casi speciali

È facile vedere che se $P(x)=ax^{2}+bx+c$ è un polinomio di secondo grado, lo zero di $P'(x)=2ax+b$ è la media delle radici di $P$ . In questo caso, l'inviluppo convesso è il segmento di estremi le due radici ed è evidente che la media degli zeri si trovi nel punto medio di tale segmento. Per un polinomio complesso $P$ di terzo grado (funzione cubica) con tre zeri distinti, il teorema di Marden afferma che gli zeri di $P'$ sono i fuochi dell'inellisse di Steiner, che è l'unico ellisse tangente ai lati del triangolo formato dagli zeri di $P$ nei loro punti medi.

Per un polinomio complesso $P$ di quarto grado con 4 zeri distinti che formano un quadrilatero concavo, uno degli zeri di $P$ giace nell'inviluppo convesso degli altri tre; tutte e tre le radici di $P'$ giacciono in due dei tre triangoli formati dallo zero interno di $P$ e dagli altri due.^[2]

Inoltre, se un polinomio di grado $n$ a coefficienti reali ha $n$ radici distinte $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ , si mostra, usando il teorema di Rolle, che gli zeri del polinomio derivato si trovano nell'intervallo $[x_{1},x_{n}]$ , che è l'inviluppo convesso dell'insieme delle radici.

L'inviluppo convesso delle radici del polinomio $p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ in particolare include il punto $-{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}$ .

Dimostrazione

Sui numeri complessi, $P$ è fattorizzabile in fattori primi

P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})

dove i numeri complessi $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ sono le – non necessariamente distinte – radici del polinomio $P$ , il numero complesso $\alpha$ è il coefficiente direttore di $P$ e $n$ è il grado del polinomio. Sia $z$ un qualunque numero complesso per cui $P(z)\neq 0$ . Allora si ha per la derivata logaritmica

{\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}.

In particolare, se $z$ è uno zero di $P'$ e $P(z)\neq 0$ , allora

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0

,

equivalente a

\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0.

Si può scrivere come

\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}\right).

Prendendo i coniugati, si nota che $z$ è una somma pesata con coefficienti positivi che hanno somma uguale a 1, o il baricentro in coordinate affini, dei numeri complessi $a_{i}$ (con differente contributo assegnato a ciascuna radice e tale che la somma dei pesi sia 1).

Se $P(z)=P^{\prime }(z)=0$ , allora $z=1\cdot a_{i}+\left(\sum _{j=1,j\neq i}^{n}0\cdot {a_{j}}\right)$ per qualche $i$ , ed è ancora una combinazione convessa delle radici di $P$ .