Teorema di Milman

In matematica, in particolare, in geometria convessa asintotica, il teorema di Milman, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski inversa, è un risultato dovuto a Vitali Milman che corrisponde ad una disuguaglianza inversa rispetto alla famosa disuguaglianza di Brunn-Minkowski per corpi convessi nello spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ. In pratica, essa limita superiormente il volume della somma di Minkowski di due corpi in termini dei volumi dei corpi stessi.

Introduzione

Siano K ed L corpi convessi in Rⁿ. La disuguaglianza di Brunn-Minkowski sancisce che

$\mathrm {vol} (K+L)^{1/n}\geq \mathrm {vol} (K)^{1/n}+\mathrm {vol} (L)^{1/n}~,$

dove vol denota la misura di Lebesgue n-dimensionale e il + al membro sinistro denota la somma di Minkowski.

In generale, no reverse bound is possible, poiché si possono trovare corpi convessi K ed L di volume unitario tali che il volume della loro somma di Minkowski è arbitrariamente grande. Il teorema di Milman stabilisce che è possibile sostituire uno dei corpi con la sua immagine mediante una trasformazione lineare che conservi il volume opportunamente scelta in modo che il membro sinistro della disuguaglianza di Brunn-Minkowski sia limitato da una costante multipla del membro destro.

Il risultato è uno dei principali teoremi strutturali nella teoria locale degli spazi di Banach.

Enunciato della disuguaglianza

Esiste una costante C, indipendente da n, tale che, per ogni coppia di corpi convessi, che presentino una simmetria centrale, K ed L in Rⁿ, è possibile trovare delle trasformazioni lineari che conservano il volume φ e ψ da Rⁿ a sé stesso tali che per ogni coppia di numeri reali s, t > 0 si ha

$\mathrm {vol} (s\,\varphi K+t\,\psi L)^{1/n}\leq C\left(s\,\mathrm {vol} (\varphi K)^{1/n}+t\,\mathrm {vol} (\psi L)^{1/n}\right)~.$

Una delle trasformazioni potrebbe essere scelta per essere l'identità.

Bibliografia

• Vitali D. Milman, Inégalité de Brunn-Minkowski inverse et applications à la théorie locale des espaces normés. [An inverse form of the Brunn-Minkowski inequality, with applications to the local theory of normed spaces], in C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 302, n. 1, 1986, pp. 25–28, MR 0827101.
• Gilles Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Cambridge, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36465-5, MR 1036275.

Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski