Teorema di Morera

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

Enunciato

Se $f(z)$ è una funzione continua in un dominio $A$ aperto e se:

$\oint _{\gamma }f(z)dz=0$

per ogni curva rettificabile chiusa $\gamma$ tutta contenuta in $A$, allora la funzione $f(z)$ è olomorfa in $A$.

Se si parametrizza $\gamma$ con la funzione $z:[0,T]\to A$ si può scrivere:

$\int _{0}^{T}f(z(t)){\dot {z}}(t)dt=0$

con ${\dot {z}}(t)$ la derivata di $z$. Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, a meno che non si compiano ulteriori assunzioni. Ad esempio, richiedendo che $A$ sia semplicemente connesso si ottiene il Teorema integrale di Cauchy, che afferma che per ogni curva chiusa e regolare a tratti contenuta in $A$ l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo tale curva è nullo.

Dimostrazione

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di $f(z)$ è nullo su qualsiasi curva $\gamma \subset A$ allora $f(z)$ ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione $F(z)$ tale che:

${\frac {dF(z)}{dz}}=f(z)$

Infatti se tale $F(z)$ esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto $f(z)$ è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva $\gamma$ un triangolo $ABC$ con $A\equiv z_{0};B\equiv z;C\equiv z+h$. Per ipotesi si può quindi scrivere:

$\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}+\int _{z}^{z+h}{f\left(w\right)dw}+\int _{z+h}^{z_{0}}{f\left(w\right)dw}=0$

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

${\frac {\int _{z_{0}}^{z+h}{f\left(w\right)dw}-\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}{h}}=f\left(c\right)$

dove $c$ è un punto del segmento $[z,z+h]$. Passando al limite per $h\rightarrow 0$ (e quindi $c\rightarrow z$) si ottiene:

${\frac {d}{dz}}\left[{\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}\right]=f\left(z\right)$

pertanto la funzione:

$F\left(z\right)=\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}$

è una primitiva di $f(z)$.

Bibliografia

• (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 373-374, 1985.
• (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 26, 1999.
• (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
• (EN) R. Remmert, Funktionentheorie , 1 , Springer (1984)

Voci correlate

• Formula integrale di Cauchy
• Funzione analitica
• Funzione olomorfa
• Integrazione complessa
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Morera, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Morera, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.