Teoria della stabilità

In matematica, la teoria della stabilità riguarda la stabilità nel tempo dei sistemi dinamici, valutata in termini di limitatezza delle uscite (ad esempio nel caso di una rete lineare) o analizzando il comportamento delle orbite (soluzioni) dell'equazione differenziale che descrive il sistema, specialmente nel caso in cui esso si trovi in una condizione di equilibrio.

Lo studio della stabilità di un sistema dinamico è un problema diffuso in diversi settori della scienza, come l'ingegneria, la chimica, la fisica, l'economia, o la farmacologia. In particolare, nel caso di sistemi fisici il sistema raggiunge una configurazione che non varia nel tempo quando essa coincide con un minimo dell'energia posseduta dal sistema (teorema di Lagrange-Dirichlet).

Descrizione

Una palla nel fondo di una valle è in una posizione di equilibrio stabile, mentre una in cima ad una collina è in posizione di equilibrio instabile.

Vi sono diversi metodi matematici per caratterizzare la stabilità di un sistema, tra i principali si possono citare:

La stabilità esterna o stabilità BIBO (dall'acronimo inglese Bounded Input, Bounded Output) è la capacità del sistema di mantenere le sue grandezze in uscita entro valori limitati a fronte di valori limitati degli ingressi, indipendentemente dallo stato iniziale. Solitamente viene studiata per sistemi LTI utilizzando la rappresentazione (in frequenza) del sistema fornita dalla funzione di trasferimento: se e solo se tutti i suoi poli hanno parte reale negativa allora il sistema è esternamente stabile.
La stabilità interna o stabilità di Ljapunov, da Ljapunov che la introdusse nella seconda metà del diciannovesimo secolo, prende invece in considerazione perturbazioni allo stato iniziale del sistema nelle vicinanze di un punto di equilibrio e valuta se l'uscita (o la traiettoria nello spazio delle fasi) ci rimane per tutti i tempi successivi. Nello specifico, utilizzando la rappresentazione in spazio di stato di un sistema dinamico, un punto di equilibrio per un sistema dinamico è detto punto di equilibrio stabile (secondo Ljapunov) se, a fronte di perturbazioni limitate dello stato iniziale del sistema, la sua evoluzione successiva rimane in prossimità del punto, mentre è detto un punto di equilibrio asintoticamente stabile (secondo Ljapunov) se la traiettoria dello stato perturbato tende al punto, cioè se la distanza fra il punto e la traiettoria si annulla per il tempo che tende a infinito.
La stabilità strutturale analizza il comportamento delle orbite in seguito a piccole perturbazioni di classe $C^{1}$ .

Un sistema dinamico lineare che è internamente stabile nell'origine (ovvero è stabile lo stato iniziale nullo) è anche esternamente stabile, mentre il viceversa è verificato solo se oltre alla stabilità esterna il sistema gode anche della proprietà di osservabilità e controllabilità.

Bibliografia

(EN) A.M. Lyapunov, Collected works , 1–5 , Moscow-Leningrad (1954–1965)
(EN) R.E. Bellman, Stability theory of differential equations , Dover, reprint (1969)
(EN) B.P. Demidovich, Lectures on the mathematical theory of stability , Moscow (1967)
(EN) Yu.L. Daletskii, M.G. Krein, Stability of solutions of differential equations in Banach space , Amer. Math. Soc. (1974)
(EN) J. La Salle, S. Lefschetz, Stability by Lyapunov's direct method with applications , Acad. Press (1961)
(EN) V.I. Zubov, Methods of A.M. Lyapunov and their application , Noordhoff (1964)
(EN) C.C. Lin, The theory of hydrodynamic stability , Cambridge University Press (1955)
(EN) D. Joseph, Stability of fluid motions , 1–2 , Springer (1976)
(EN) V.V. Bolotin, Nonconservative problems of the theory of elastic stability , Pergamon (1963)
(EN) A.S. Vol'mir, Stability of deformable systems , Moscow (1967)
(EN) V.D. Klushnikov, Stability of elastic-plastic , Moscow (1980)