드람 코호몰로지: 두 판 사이의 차이

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2015년 11월 5일 (목) 06:28 판

드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 대수적 위상수학과 미분위상수학에서 다루며, 미분 형식을 써서 미분 가능 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 미분 가능 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의

주어진 매끄러운 다양체 $M$ 위에 존재하는 매끄러운 $k$ -미분 형식이 이루는 벡터 공간 $\Omega ^{k}(M)$ 을 생각하자. 이들 사이에는 외미분 $d$ 에 따른 선형사상

d_{k}:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)

이 존재한다. 외미분은 $d^{2}=0$ 을 만족하므로, $\Omega ^{k}(M)$ 과 $d$ 는 공사슬 복합체를 이룬다. 이는 드람 복합체라고 부른다. 즉

H_{\text{dR}}^{k}(M)=\ker d_{k}/\operatorname {im} d_{k-1}

이다.

다른 형식의 외미분인 형식을 완전 형식(完全形式, 영어: exact form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 형식(닫힌形式, 영어: closed form)이라고 부른다. 따라서 드람 복합체 $H^{k}(M)$ 은 닫힌 $k$ -형식의 공간에서 완전 $(k-1)$ -형식의 외미분을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.

간단한 예로, 다양체 $M$ 이 $n$ 개의 연결 성분(connected component)를 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{n}

즉, 다양체 $M$ 위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

드람 코호몰로지의 계산

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

n-구체

n-차원 구체의 코호몰로지 군은 $H_{dR}^{k}(S^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}$ 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 $I$ 가 임의의 선분일 때에, $H_{dR}^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}$ 도 성립한다.

n-원환면

$n$ 차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

H_{dR}^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}$ 를 말한다. 이때에,

$H_{dR}^{k}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})$	$\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}$
	$\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})$

뫼비우스의 띠

뫼비우스의 띠 $M$ 은 호모토픽하게는 1-구체라는 것에서 계산이 바로 된다:

H_{dR}^{k}(M)\simeq H_{dR}^{k}(S^{1})

참고 문헌

조용승 (1999년 4월). 《다양체의 미분위상수학》. 서울: 아르케. ISBN 89-88791-11-8.
Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008). “Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory”. arXiv:0807.4991. Bibcode:2008arXiv0807.4991I.

바깥 고리

Weisstein, Eric Wolfgang. “De Rham cohomology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

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-'''드람 코호몰로지'''({{llang|en|de Rham cohomology}})는 [[미분 가능 다양체]]의 [[미분 형식]]에 대하여 존재하는 [[코호몰로지]]로서, [[외미분]]의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. [[대수적 위상수학]]과 [[미분 위상수학]]에서 다루며, [[미분 형식]]을 써서 [[미분 가능 다양체]]의 [[위상수학]]적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 [[미분 가능 다양체]]를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.
+'''드람 코호몰로지'''({{llang|en|de Rham cohomology}})는 [[매끄러운 다양체]]의 [[미분 형식]]에 대하여 존재하는 [[코호몰로지]]로서, [[외미분]]의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. [[대수적 위상수학]]과 [[미분위상수학]]에서 다루며, [[미분 형식]]을 써서 [[미분 가능 다양체]]의 [[위상수학]]적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 [[미분 가능 다양체]]를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.
 ==정의==
 주어진 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 존재하는 매끄러운 <math>k</math>-[[미분 형식]]이 이루는 [[벡터 공간]] <math>\Omega^k (M)</math>을 생각하자. 이들 사이에는 외미분 <math>d</math>에 따른 [[선형사상]]
 : <math> d_k: \Omega^k (M) \to \Omega^{k+1} (M)</math>
-이 존재한다. 외미분은 <math> d^2 = 0 </math>을 만족하므로, <math>\Omega^k(M)</math>과 <math>d</math>는 [[사슬 복합체|공사슬 복합체]](cochain complex)를 이룬다. 이는 '''드람 복합체'''라고 부른다. 즉
+이 존재한다. 외미분은 <math> d^2 = 0 </math>을 만족하므로, <math>\Omega^k(M)</math>과 <math>d</math>는 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이는 '''드람 복합체'''라고 부른다. 즉
 :<math>H_\text{dR}^k(M)=\ker d_k/\operatorname{im} d_{k-1}</math>
 이다.