드람 코호몰로지

수학에서 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 다양체의 미분형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 대수적 위상수학과 미분 위상수학에서 다루며, 미분형식을 써서 미분다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 미분다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의

$M$을 어떤 미분다양체라고 하자. 이때에 $M$위에서 정의되는 모든 매끈한 실계수 $k$-미분 형식들의 집합은 덧셈에 대해서 가환군을 형성하고, 이 집합을

$\Omega ^{k}(M)$

로 표시한다. 사실은, 이 군은 실 벡터 공간이 된다.

한편, 외미분(exterior derivative) $d$는 연산자

$d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)$

을 정의한다.

이 외미분은 관계식

$d^{2}=0$

를 만족하는데, 이것은 2차 편미분의 대칭성

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}$

에서 나온다. 따라서, 이 $k$-미분형식들의 벡터 공간들과 외미분 연산자는 공사슬 복합체(cochain complex)를 생성한다. 이 공사슬 복합체를 드람 복합체라고 부른다:

$C^{\infty }(M)=\Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .$

미분기하의 용어로 설명하자면, 미분 형식 중, 다른 형식의 외미분으로 표시되는 것들을 완전 형식(exact form)으로 부르고, 외미분이 0이 되는 것을 닫힌 형식(closed form)으로 부른다. 한편, $d^{2}=0$이 성립하므로 완전 형식은 항상 닫힌 형식이다라는 것을 바로 알 수 있다.

그러나 반대는 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 닫힌 형식이 항상 완전 형식이 되는 것은 아니다. 드람 코호몰로지의 기본적인 아이디어는 바로, 이러한 여러가지 종류의 닫힌 형식들을 어떤 방식으로 분류해 보는 시도라고 할 수 있다. 좀 더 자세하게 말하자면, $\Omega ^{k}(M)$안에 있는 두개의 닫힌 미분 형식 $\alpha ,\beta$이 코호몰로그이다는 것은, 이 두 형식이 완전 형식 만큼만 차이가 나는 것으로 정의하는데, 이것이 바로 드람 코호몰로지에서 쓰는 분류 방법이다. 두 형식이 완전 형식 만큼만 차이가 난다는 말은 다시 말하자면 $\alpha -\beta$가 완전 형식이라는 말이다. 이러한 분류 방법은 닫힌 미분 형식들의 집합 $\Omega ^{k}(M)$ 위에 동치 관계(equivalence relation)를 주게 되는데, 따라서 우리는 $k$-번째 드람 코호몰로지 군을

구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle H^k _{dR} (M)}

로 정의할 수 있다. 즉, 이 군은, 동치 류들의 모임이다.

아주 초보적인 경우로, 다양체 $M$이 n개의 연결 성분(connected component)를 가진다면,

$H_{dR}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{n}$

가 된다. 여기서 등호는, 군 동형 사상이 있음을 뜻한다. 이 사실을 다른 말로 하자면, 다양체 $M$위에서 정의된 임의의 매끈한 함수가 만약 그 미분이 0이라면, 이것은 각각의 연결 성분에서는 상수 함수 여야 한다는 것을 뜻한다.

관련 코호몰로지

다양체 $M$ 안의 k-특이 사슬(k-단체[simplex]의 일차결합) $C$위에 k-형식 $\omega$를 적분할 수 있다. 즉 $\textstyle \int _{C}\omega$가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 $H_{\text{dR}}^{k}(M)$에서 특이(singular) 코호몰로지 $H^{k}(M;\mathbb {R} )$으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드람(프랑스어: Georges de Rham)이 1931년에 증명하였다.

다양체가 컴팩트하고 리만 구조를 지닌 경우에는 호지 이론(영어: Hodge theory)에 따라 조화미분형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지(Čech cohomology)나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다.

복소 다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다.

드람 코호몰로지의 계산

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-비에토리스 수열(Mayer-Vietoris sequence)등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

n-구체

n-차원 구체의 코호몰로지 군은 $H_{dR}^{k}(S^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}$ 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 $I$가 임의의 선분일 때에, $H_{dR}^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}$ 도 성립한다.

n-토러스

$H_{dR}^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}$

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}$를 말한다. 이때에,

$H_{dR}^{k}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})$	$\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}$
	$\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})$

뫼비우스의 띠 $M$

뫼비우스의 띠는 호모토픽하게는 1-구체라는 것에서 계산이 바로 된다:

$H_{dR}^{k}(M)\simeq H_{dR}^{k}(S^{1})$