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펜로즈 테셀레이션

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펜로즈 테셀레이션 중 하나.

펜로즈 테셀레이션 또는 펜로즈 타일링(영어: Penrose tiling)은 비주기적 테셀레이션 중 하나이다. 여기에서 '테셀레이션'이란 같은 모양으로 겹치거나 빈틈이 없게 평면을 채우는 것이고, '비주기적'이란 테셀레이션 중 일부를 골라서 돌리지 않고 밀기만 했을 때 모양이 같은 테셀레이션이 없다는 것이다. 평행 이동 대칭이 없지만 반사 대칭과 5차 회전 대칭은 있다. 펜로즈 테셀레이션은 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈가 1970년에 연구로 발견했다.

다른 모양의 타일을 가진 펜로즈 테셀레이션을 몇 가지로 변형할 수 있다. 처음에 4가지 모양의 타일을 사용했지만 2개로 줄어든다. (마름모 2개 또는 카이트(kite)와 다트(dart)) 펜로즈 테셀레이션은 서로 모양이 맞도록 했을 때 만들 수 있는데, 연결 규칙, 타일 대체하기, 유한한 분할 규칙, 잘라서 사영하기 방법, 덮기 등을 쓸 수 있다. 이렇게 만들어진 후에도 변형 각각은 무한히 많은 펜로즈 테셀레이션을 만들 수 있다.

펜로즈 테셀레이션은 자기유사성이 있어서, '늘리기'와 '줄이기'라는 과정을 거치면 타일의 크기는 다르지만 모양은 처음과 같은 테셀레이션으로 바꿀 수 있다. 이때 유한한 크기의 타일 조각들의 패턴이 테셀레이션 전체에서 무수히 많이 나타난다. 브래그 곡선, 5차 회전 대칭(360°/5=72° 회전 대칭), 패턴의 반복 등이 나타나며, 물리학적인 구조에서 회절 무늬가 있고 준결정이다.[1] 이런 테셀레이션을 연구하는 것은 준결정을 형성하는 물리학적인 물질을 이해하는 데 중요하다.[2] 펜로즈 테셀레이션은 건축, 장식, 바닥 타일 등에도 적용돼 오고 있다.

배경 및 역사

주기적, 비주기적 테셀레이션

도형 1. 두 개의 프로토타일을 가진 주기적 테셀레이션의 일부이다.

평면을 기하학적인 모양인 '타일'로 겹치거나 빈틈 없이 덮는 것을 테셀레이션이라고 한다. 모서리와 모서리가 만나는 정사각형 모양의 바닥 타일은 주기적 테셀레이션의 예시이다. 정사각형 테셀레이션을 타일의 변과 평행하게 밀었을 때, 밀기 전과 모양이 같다. 이렇게 보존되는 평행 이동을 테셀레이션의 '주기'라고 한다. 두 가지 방향으로 평행 이동했을 때 주기를 가지는 테셀레이션을 주기적이라고 한다.[3]

정사각형 테셀레이션의 타일은 하나의 모양만 있고, 다른 테셀레이션에서도 일반적으로 유한한 개수의 타일 모양이 있다. 이런 타일 모양을 '프로토타일'이라고 하며, 이런 모양만으로 평면의 테셀레이션이 가능하다면 프로토타일의 집합이 '테셀레이션을 허용한다' 또는 '평면을 타일링한다'고 말한다. 다시 말해서, 테셀레이션에 사용된 각 타일은 프로토타일 중 하나와 합동인 것이다.[4]

주기가 없는 테셀레이션을 '비주기적'이라고 한다. 프로토타일의 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적일 때, 그 집합을 '비주기적'이라고 할 수 있고, 이것들로 만들어진 테셀레이션을 비주기적 테셀레이션이라고 한다.[5] 펜로즈 테셀레이션은 유한한 개수의 프로토타일 집합으로 평면을 테셀레이션할 수 있는 간단한 비주기적 테셀레이션으로 알려진 예시 중 하나다.[3]

초기의 비주기적 테셀레이션

왕 도미노의 비주기적 집합[6]

논리학자 하오 왕이 결정 문제와 테셀레이션의 관계에 주목한 1960년대에 비주기적 테셀레이션이라는 주제가 관심사로 떠올랐다.[7] 특히 그는 모서리 쪽이 색칠된 정사각형인 왕 도미노라는 테셀레이션을 도입하면서 도미노 문제를 제안했다. 이는 왕 도미노의 집합이 주어졌을 때, 맞닿아 있는 도미노 모서리에 같은 색이 오도록 평면을 테셀레이션할 수 있을지 결정하는 문제이다. 만약 이 문제를 결정할 수 없다면, 왕 도미노의 비주기적인 집합이 존재하는 것이었다. 당시 그럴 수 없다고 생각한 왕은 비주기적인 집합이 존재할 수 없다고 추측했다.

왕의 학생 로버트 버거는 1964년 논문에 도미노 문제가 결정할 수 없다는 것(즉 왕의 추측이 틀렸다는 것)을 증명했고,[8] 20,426개의 왕 도미노를 사용한 비주기적인 집합을 찾았다.[9] 프로토타일 개수를 104개로 줄인 경우도 가능하다는 것을 알아냈지만, 발표한 논문에는 나타내지 않았다.[10] 1968년에 도널드 크누스는 버거의 집합을 변형해서 92개의 도미노만 필요한 집합을 찾았다.[11]

모서리에 색칠된 색끼리 맞을 수 있도록 직소 퍼즐처럼 타일의 모서리를 바꾸면, 색이 맞는 왕 도미노를 쉽게 찾을 수 있다.[12] 래피얼 로빈슨은 1971년 논문[13]에서 버거의 방법과 결정 문제를 결정할 수 없다는 증명을 단순화시켰고, 버거의 방법을 써서 6개의 프로토타일만으로 비주기적인 집합을 찾았다.[14]

펜로즈 테셀레이션의 발전

도형 2. 밑의 모서리가 노란 테셀레이션은 마름모 테셀레이션(P3), 위의 모서리가 검은 테셀레이션은 오각형 펜로즈 테셀레이션(P1)이다.[15]

맨 처음의 펜로즈 테셀레이션(P1 테셀레이션)은 6개의 프로토타일로 만들어졌고, 로저 펜로즈가 1974년 논문에 소개했다.[16] 여기서 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했다. 정오각형으로 평면을 채우려고 시도하면 항상 빈틈이 생기지만, 요하네스 케플러는 1916년에 책 《세계의 조화》에서 이런 빈틈을 오각별, 십각형 등 관련된 도형으로 채울 수 있다는 걸 보였다.[17] 케플러는 이 테셀레이션을 다각형 5개를 사용해 확장했는데 주기적인 패턴을 찾을 수 없었고, 확장을 할 때마다 새로운 성질이 생길 것이라고 이미 추측한 상태였다.[18] (따라서 비주기적 테셀레이션이 만들어진다.) 이런 생각은 알베르트 뒤러의 작품에서도 찾아볼 수 있다.[19] 케플러의 생각을 알게 된 후 펜로즈는 이렇게 비주기적 집합을 만드는 모양의 타일에서, 서로를 연결시키는 규칙을 찾았다. 이런 연결 규칙은 왕 타일에서처럼 모서리를 색칠해서 만들어진다. 펜로즈의 테셀레이션은 케플러의 무한 'Aa' 패턴의 완성작이라고 볼 수 있다.[20]

18세기 초반에 정오각형과 길쭉한 마름모로 만든 펜로즈 테셀레이션이 아닌 테셀레이션이다. 체코 공화국의 즈댜르 나트 사자보우에 있는 성 얀 네포쿠츠기 순례 교회에 있다.

펜로즈는 이후에 카이트와 다트 테셀레이션(P2 테셀레이션)과 마름모 테셀레이션(P3 테셀레이션)을 발견해 프로토타일의 개수를 2개로 줄였다.[21] 마름모 테셀레이션은 로버트 애먼이 독립적으로 1976년에 발견했다.[22] 펜로즈와 존 호턴 콘웨이는 펜로즈 테셀레이션의 특성을 연구했고, 대체하는 특성이 그 계층 구조를 설명한다는 걸 발견했다. 이 발견은 《사이언티픽 아메리칸》의 1977년 1월 "수학 게임"에 기재되었다.[23]

1981년에 니콜라스 호버트 데 브라윈은 펜로즈 테셀레이션을 만드는 두 가지 다른 방법을 소개했다. 데 브라윈의 "다중격자 방법"은 평행한 직선 5그룹을 배치한 쌍대 그래프로 펜로즈 테셀레이션을 얻는다. "잘라 사영하기 방법"에서 펜로즈 테셀레이션은 5차원 초입방체 구조를 2차원으로 사영해서 얻을 수 있다. 이런 접근에서 펜로즈 테셀레이션은 꼭짓점의 집합으로 볼 수 있고 타일들은 꼭짓점을 모서리로 이을 때 생기는 도형들에서 얻을 수 있다.[24]

펜로즈 테셀레이션

6개의 프로토타일 집합을 쓰는 펜로즈의 첫 P1 테셀레이션

3가지 펜로즈 테셀레이션인 P1–P3가 아래에 각각 설명되어 있다.[25] 여러 공통적인 특징이 있는데, 각 타일은 정오각형과 황금비와 관련된 모양에서 만들어지지만 비주기적으로 테셀레이션하기 위해 '연결 규칙'이 추가적으로 있어야 한다. 이런 규칙은 특정한 꼭짓점이나 모서리, 타일 면의 패턴과 관련이 있다. 모서리의 모양이 안으로 들어가거나 밖으로 나오게 할 수도 있다.[9][26]

첫 펜로즈 오각형 테셀레이션 (P1)

펜로즈의 첫 테셀레이션은 정오각형뿐 아니라 다른 3가지 모양도 쓰는데, "별" (오각별), "배" (별의 약 3/5), "다이아몬드" (얇은 마름모)를 쓴다.[27] 모든 테셀레이션이 비주기적이 되기 위해 타일이 만나는 법을 정하는 연결 규칙이 있는데, 오각형 타일에는 세 종류의 연결 규칙이 있다. 이러한 3가지 종류의 오각형을 다른 프로토타일로 보면 총 프로토타일이 6개가 생긴다. 일반적으로 오른쪽 위 그림처럼 다른 세 종류의 오각형 타일을 다른 세 가지 색으로 칠한다.[28]

카이트와 다트 테셀레이션 (P2)

펜로즈 P2 타일링(카트와 다이트)으로 채운 평면 중 일부분이다. '줄이기'를 적용해서 만들어졌는데, 이 내용은 아래 소문단을 참고하자.

펜로즈의 두 번째 테셀레이션은 "카이트"와 "다트"라고 하는 연꼴을 쓴다. 둘을 붙이면 마름모를 만들 수 있으나, 연결 규칙은 이를 허용하지 않는다.[29] 카이트와 다트 각각은 1975년 로빈슨이 언급한 로빈슨 삼각형이라는 2개의 삼각형으로 이루어져 있다.[30]

카이트와 다트 타일(위)과 P2 타일링에서 가능한 7가지 꼭짓점 배치(아래)
  • 카이트는 내각이 72°, 72°, 72°, 144°인 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 예각삼각형 (내각이 36°, 72°, 72°) 2개로 나눌 수 있다.
  • 다트는 내각이 36°, 72°, 36°, 216°인 오목 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 둔각삼각형 (내각이 36°, 36°, 108°) 2개가 생기는데, 로빈슨 예각삼각형보다 작다.

연결 규칙을 몇 가지 방법으로 설명할 수 있다. 한 방법은 꼭짓점을 (검정색과 하얀색 같은 두 색으로) 색칠해서 맞닿은 타일의 꼭짓점 색이 같도록 하는 것이다.[31] 다른 방법은 원호 패턴을 사용해서 (왼쪽에 초록색과 빨간색으로 표시된 것처럼) 타일의 위치를 정하는 것이다. 두 타일이 테셀레이션에서 모서리를 공유할 때, 패턴이 각 모서리에서 연결되어야 한다.[21]

이 규칙은 특정한 타일의 배치를 결정하기도 하다. 예를 들어 임의의 다트의 오목한 꼭짓점은 반드시 2개의 카이트로 채워져야 한다. 이렇게 만들어진 모양(아래쪽 그림의 위 가운데)을 콘웨이가 "에이스"라고 이름 붙였는데, 카이트를 확대한 듯하지만 카이트와는 타일링하는 방법이 다르다.[32] 비슷하게 두 카이트가 짧은 모서리로 닿아 있을 때 생기는 오목한 꼭짓점은 두 개의 다트로 채워져야 한다(아래 오른쪽). 실제로 타일이 한 꼭짓점에서 만나는 방법은 7가지만 가능한데, 그 중 2가지인 "별"(위 왼쪽)과 "해"(위 오른쪽)는 5차 이면 대칭(회전 및 반사 대칭)이 있다. 반면에 나머지는 한 축(그림의 세로축)에 대한 반사 대칭밖에 없다.[33] 에이스와 해를 제외하면 모든 꼭짓점 배치에는 타일이 추가적으로 배치되어야 한다.[34]

마름모 타일링 (P3)

원호를 넣고 모서리를 변형해서 연결 규칙을 만족시키도록 한 펜로즈 마름모
변을 포물선 모양으로 만들어 연결 규칙을 만족시키도록 한 펜로즈 마름모
포물선 변을 가진 펜로즈 마름모로 만든 펜로즈 테셀레이션

세 번째 테셀레이션은 변의 길이는 같지만 내각의 크기는 다른 한 쌍의 마름모를 사용한다.[9] 일반적인 마름모 모양의 타일은 평면을 주기적으로 채울 수 있으므로, 타일이 연결되는 방법에 제한이 있어야 한다. 주기적인 테셀레이션을 허락하지 않기 위해, 어느 두 타일도 평행사변형을 이루면 안 된다. 하지만 이 조건은 도형 1이 보여주듯이 비주기적이기 위해 충분하지 않다.

두 종류의 타일이 있는데, 각각은 로빈슨 삼각형으로 나누어질 수 있다.[30]

  • 얇은 마름모 t는 내각의 크기가 36°, 144°, 36°, 144°이다. t 마름모는 짧은 대각선으로 잘랐을 때 로빈슨 예각 삼각형 한 쌍이 생긴다.
  • 굵은 마름모 T는 내각의 크기가 72°, 108°, 72°, 108°이다. T 마름모는 긴 대각선으로 잘랐을 때 둔각 로빈슨 삼각형 한 쌍이 생기는데, P2 테셀레이션과는 다르게 예각 삼각형보다 더 크다.

연결 규칙은 타일의 변을 구별하므로, 타일이 정해진 방법으로만 놓일 수 있다. 연결 규칙을 설명하는 두 가지 방법이 오른쪽 그림에 있다. 첫째, 타일 면에 표시한 곡선이 변을 가로질러 색과 위치가 일치하도록 한다. 둘째, 변에 있는 올록볼록한 부분이 서로 맞도록 조합한다.[9]

한 꼭짓점에서 만나는 각의 합이 360°가 되는 54가지 덮기 방법 조합이 있지만, 연결 규칙은 그 중 7가지만 허용한다. (7가지 각각은 2가지로 나타난다)[35]

내각과 굽은 모양을 통해 임의의 복잡한 타일을 만들 수 있는데, 예로 펜로즈 닭(penrose chicken)이 있다.[36]

특징 및 구성 방법

황금비와 국소적(local) 정오각형 대칭

펜로즈 타일링에서 황금비 (대략 1.618)가 포함되어 있는 몇몇 특성이 있다.[30][31] 이는 정오각형에서 변 길이에 대한 대각선 길이의 비율인데, φ라 했을 때 φ = 1 + 1/φ을 만족시킨다.

굵은 마름모(밝은 회색), 예각 로빈슨 삼각형 2개(중간 회색), 작은 둔각 로빈슨 삼각형(어두운 회색)이 내접한 정오각형이다. 점선은 카이트와 다트의 모서리를 나타낸다.

따라서 이등변인 로빈슨 삼각형의 긴 변 대 짧은 변의 길이비는 φ:1이다. 즉 카이트와 다트 타일 모두 긴 변 대 짧은 변의 길이비는 φ:1인데, 얇은 마름모 t에서 변 대 짧은 대각선의 길이비, 굵은 마름모 T에서 긴 대각선 대 변의 길이비도 같다. P2와 P3 테셀레이션 모두 큰 로빈슨 삼각형 대 작은 로빈슨 삼각형의 넓이비가 φ:1이여서, 카이트 대 다트, 굵은 마름모 대 얇은 마름모의 넓이비도 그렇다. (크기가 다른 둔각 로빈슨 삼각형을 왼쪽 그림의 오각형에서 찾을 수 있는데, 맨 위의 마름모 절반이 큰 삼각형이며 아래의 어두운 작은 삼각형과 선형 차원에서 닮음비가 φ:1이며 넓이비는 φ2:1이 된다.)

임의의 펜로즈 테셀레이션은 타일의 대칭적인 배치로 둘러싸인 점이 있기 때문에 국소적으로 정오각형 대칭성이 있다. 이러한 배치는 중심점에서 5차 회전 대칭뿐만 아니라 그 점을 지나는 5개의 직선은 반사 대칭의 거울축이 되어, 이면군을 이룬다.[37] 이 대칭 전후에는 일반적으로 중심점을 둘러싼 한 부분의 타일만 보존되지만, 그 부분이 매우 클 수 있다. 콘웨이와 펜로즈는 P2 또는 P3 테셀레이션에 있는 색이 있는 곡선이 이어져서 하나의 닫힌 도형을 만들 때마다 도형 내부가 정오각형 대칭이라는 것을 증명했다. 또한 어느 타일링에서든지 서로 이어져 닫히지 않는 곡선의 종류가 많아야 2가지라는 걸 증명했다.[38]

전역적인(global) 5차 대칭점은 최대 1개인데, 1개보다 많다면 한 점에 대해 다른 점을 회전시켰을 때 더 가까운 5차 대칭 중심점이 생기기 때문에 수학적으로 모순이다.[39] 전체적으로 정오각형 대칭을 가지는 펜로즈 테셀레이션은 유형마다 2개만 있는데, 카이트와 다트로 만든 P2 테셀레이션은 중심점이 "해" 또는 "별"이 꼭짓점이다.[40]

늘리기와 줄이기

작은 6개의 정오각형(정십이면체 전개도의 절반)과 빈틈으로 분해된 정오각형

펜로즈 테셀레이션의 많은 공통점은 대체하기 규칙의 계층적인 정오각형 구조에 따라 생긴다. 이 대체하기 규칙을 테셀레이션이나 타일의 '늘리기'(inflation)와 '줄이기'(deflation) 또는 '결합하기'(composition)와 '분해하기'(decomposition)라고 한다.[9][23][41] 대체하기 규칙은 각 타일을 테셀레이션의 쓰인 모양을 가진 더 작은 타일로 분해한다. (그래서 더 큰 타일이 작은 타일들이 '결합'되게 한다.) 이로부터 펜로즈 테셀레이션이 비례 축소로 자기유사성을 띤다는 사실을 알 수 있고, 펜타플레이크와 같은 과정을 거치면 프랙탈로 생각할 수 있다.[42]

로빈슨 삼각형으로의 분해

로빈슨 삼각형을 분해한 모습

P2와 P3 테셀레이션에 모두 쓰이는 대체하기 방법은 여러 크기의 로빈슨 삼각형을 써서 나타낼 수 있다. P2 테셀레이션에서 (카이트와 다트를 나눠서) 나타나는 로빈슨 삼각형은 A-타일이라 하고, P3 테셀레이션에서 (마름모를 나눠서) 나타나는 것은 B-타일이라고 한다.[30] 작은 A-타일은 AS라고 표현하는데 둔각 로빈슨 삼각형이며, 큰 로빈슨 타일 AL은 예각삼각형이다. 반면에 작은 B-타일은 BS라고 하며 예각 로빈슨 삼각형이고, 큰 B-타일 BL은 둔각삼각형이다.

구체적으로 AS의 변의 길이가 (1, 1, φ)라면, AL은 (φ, φ, 1)이다. B-타일은 이러한 A-타일에 관련이 있는데, 2가지 경우이다.

  • BS가 AL과 같은 크기일 때 BL은 AS를 확대한 φAS이며, 변의 길이는 (φ, φ, φ2 = 1 + φ)이다. – BL은 AL 타일과 AS 타일이 길이가 1인 공통변을 가지도록 분해할 수 있다.
  • BL이 대신 AS와 구별된다면, BS 는 AL을 축소한 (1/φ)AL이며, 변의 길이는 (1/φ,1/φ,1)이다. – BS 타일과 BL 타일을 길이가 1인 공통변을 가지도록 결합해 붙이면 AL 타일을 얻는다.


이렇게 분해했을 때 애매한 점이 있다. 로빈슨 삼각형은 이등변이기 때문에 대칭축을 기준으로 거울상인 2가지 방법으로 분해할 수 있기 때문이다. 펜로즈 테셀레이션에서 연결 규칙에 따라 분해하는 방법이 이들 중 정해져 있다. 게다가 연결 규칙은 작은 삼각형들이 결합해서 큰 삼각형이 되는 방법까지 결정한다.[30]

같이 보기

각주

  1. ↑ Senechal 1996, 241–244쪽.
  2. ↑ Radin 1996.
  3. ↑ 가 나 General references for this article include Gardner 1997, 1–30쪽, Grünbaum & Shephard 1987, 520–548 &amp, 558–579쪽, and Senechal 1996, 170–206쪽.
  4. ↑ Gardner 1997, 20, 23쪽
  5. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, 520쪽
  6. ↑ Culik & Kari 1997
  7. ↑ Wang 1961
  8. ↑ “Robert Berger”. 《수학 계보 프로젝트》 (영어). 미국 수학회. 
  9. ↑ 가 나 다 라 마 Austin 2005a
  10. ↑ Berger 1966
  11. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, 584쪽
  12. ↑ Gardner 1997, 5쪽
  13. ↑ Robinson 1971
  14. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, 525쪽
  15. ↑ Senechal 1996, 173–174쪽
  16. ↑ Penrose 1974
  17. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, section 2.5
  18. ↑ Kepler, Johannes (1997). 《The harmony of the world》. American Philosophical Society. 108쪽. ISBN 0871692090. 
  19. ↑ Luck 2000
  20. ↑ Senechal 1996, 171쪽
  21. ↑ 가 나 Gardner 1997, 6쪽
  22. ↑ Gardner 1997, 19쪽
  23. ↑ 가 나 Gardner 1997, chapter 1
  24. ↑ de Bruijn 1981
  25. ↑ P1–P3 표기법은 Grünbaum & Shephard 1987, section 10.3을 참고했다.
  26. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, section 10.3
  27. ↑ Penrose 1978, 32쪽
  28. ↑ "However, as will be explained momentarily, differently colored pentagons will be considered to be different types of tiles." Austin 2005a; Grünbaum & Shephard 1987, figure 10.3.1에서 모서리를 변형해서 프로토타일의 비주기적 집합을 만족해야 했다고 말한다.
  29. ↑ "The rhombus of course tiles periodically, but we are not allowed to join the pieces in this manner." Gardner 1997, 6–7쪽
  30. ↑ 가 나 다 라 마 Grünbaum & Shephard 1987, 537–547쪽
  31. ↑ 가 나 Senechal 1996, 173쪽
  32. ↑ Gardner 1997, 8쪽
  33. ↑ Gardner 1997, 10–11쪽
  34. ↑ Gardner 1997, 12쪽
  35. ↑ Senechal 1996, 178쪽
  36. ↑ “The Penrose Tiles”. 《Murderous Maths》. 2020년 1월 20일에 확인함. 
  37. ↑ 인용 오류: <ref> 태그가 잘못되었습니다; AMSa2라는 이름을 가진 주석에 텍스트가 없습니다
  38. ↑ Gardner 1997, 9쪽
  39. ↑ Gardner 1997, 27쪽
  40. ↑ Grünbaum & Shephard 1987, 543쪽
  41. ↑ Grünbaum & Shephard 1987에서, "inflation" is used where other authors would use "deflation" (followed by rescaling). The terms "composition" and "decomposition", which many authors also use, are less ambiguous.
  42. ↑ Ramachandrarao, P (2000). “On the fractal nature of Penrose tiling” (PDF). 《Current Science》 79: 364. 

외부 링크

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