Gauso funkcija

Normuotos Gauso funkcijos kreivės su tikėtina vertė μ ir vidutiniu standartiniu nuokrypiu σ². Atitinkami parametrai a= 1/(σ√(2π)), b=μ, c=σ

Matematikoje Gauso funkcija – funkcija, kuri yra apibrėžiama kaip:

$f(x)=ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}},\quad a,b,c\in \mathbb {R} ,a>0,c>0.$

Gauso funkcijos grafikas yra būdingas savo simetriniu varpo pavidalu, kuris greitai nuslopsta funkcijos argumento vertėms artėjant į teigiamą arba neigiamą begalybę. Parametras a yra kreivės maksimumo aukštis, dydis b yra maksimumo centro padėtis, o dydis c nulemia "varpo" plotį.

Gauso funkcijos yra plačiai paplitusios įvairiose mokslo srityse – statistikoje, kur jos aprašo normalųjį tikimybės tankio skirstinį, signalų teorijoje, kur jos aprašo Gauso filtrus, vaizdų apdorojime, kur dvimatė Gauso funkcija naudojama "blur" filtro algoritme, bei fizikoje, kur jos yra šilumos pernašos ir parabolinės difrakcijos teorijos diferencialinių lygčių sprendiniai.

Savybės

Gauso funkcijos yra gaunamos į eksponentinės funkcijos argumentą bet kokį antros eilės polinomą, tokiu būdu, Gauso funkcijos logaritmas visuomet bus kvadratiniu dėsniu aprašoma funkcija.

Signalų teorijoje yra parametras c yra susijęs su pločiu pusiniame aukštyje (angl. "Full Width at Half Maximum", sutr. FWHM) sekančiu sąryšiu

$d_{\mathrm {FWHM} }=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c=2.35482\ldots \cdot c.$

Matematikoje, parametras c gali būti interpretuotas kaip dviejų persilenkimo taškų padėtį nusakantis parametras. Persilenkimo taškai yra ties x = b − c and x = b + c.

Gauso funkcijos yra analitinės, jų riba, kai $x\to \pm \infty$, yra 0.

Gauso funkcijos priklauso elementarių funkcijų šeimai, tačiau neturi pirminės funkcijos; Gauso funkcijos integralas yra paklaidų funkcija. Nepaisant to, jų apibrėžtas integralas per visą realiųjų skaičių ašį surandamas tiksliai Gauso integralo pagalba

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

ir po pertvarkimų gaunama

$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$

Integralo vertė yra vienetinė tik tuomet, kai a = 1/(c√ (2π)), šiuo atveju Gauso funkcija yra tikimybės tankio funkcija, aprašanti normalųjį skirstinį, žinoma statistikoje. Jis aprašo atsitiktinių dydžių su tikėtina vertė μ = b ir vidutiniu nuokrypiu σ² = c². Gauso funkcijų pavyzdžiai pateikti paveiksliuke

Atlikdami Gauso funkcijos Furjė transformaciją, kuomet a, b = 0 ir c, yra gaunama kita Gauso funkcija su parametrais ac, b = 0 ir 1/c. Tokiu būdu, Gauso funkcijos su b = 0 ir c = 1 nėra iškraipomos Furjė transformacijos (jos yra Furjė transformacijos tikrinės funkcijos, atitinkančios tikrinę vertę 1).

Dviejų Gauso funkcijų sandauga ir sąsuka yra taip pat Gauso funkcija.

Dvimatė Gauso funkcija

Gauso funkcija dvimatėje erdvėje. A = 1, x_o = 0, y_o = 0, σ_x = σ_y = 1

Dalinis dvimatės Gauso funkcijos atvejis yra

$f(x,y)=Ae^{-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}.$

Čia dydis A yra amplitudė, x_o,y_o yra viršunės padėtis ir σ_x, σ_y yra pločiai x ir y kryptimis.

Bendru atveju dvimate Gauso funkcija užrašoma taip

$f(x,y)=Ae^{-\left(a(x-x_{o})^{2}+2b(x-x_{o})(y-y_{o})+c(y-y_{o})^{2}\right)}$

kur matrica

$\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]$

yra teigiamai apibrėžta.

Taip pat skaitykite

• Gauso pluoštas
• Ermito ir Gauso pluoštas
• Lagero ir Gauso pluoštas